Номер 815, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 815, страница 181.

Условие 2023.

815. Перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $AC$, делит угол $ABC$ на два угла, величины которых относятся как $1 : 3$. Найдите угол между проведённым перпендикуляром и диагональю $BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ на диагональ $AC$ опущен перпендикуляр $BH$. Угол $\angle ABC$ в прямоугольнике равен $90^\circ$. По условию, перпендикуляр $BH$ делит его на два угла, $\angle ABH$ и $\angle HBC$, отношение которых составляет $1:3$.
Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший равен $3x$. Их сумма равна углу $\angle ABC$:
$x + 3x = 90^\circ$
$4x = 90^\circ$
$x = 22.5^\circ$
Таким образом, углы равны $22.5^\circ$ и $3 \cdot 22.5^\circ = 67.5^\circ$.
Пусть $\angle ABH = 22.5^\circ$ и $\angle HBC = 67.5^\circ$. (Выбор, какой из углов больше, не повлияет на конечный результат).
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ (по построению $\angle BHC = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle BCH = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$.
Угол $\angle BCH$ является частью угла $\angle BCD$ и совпадает с углом $\angle BCA$. Итак, $\angle BCA = 22.5^\circ$.
Пусть диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO = CO$. Это означает, что треугольник $\triangle BOC$ является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = \angle BCA = 22.5^\circ$.
Угол $\angle OBC$ является частью диагонали $BD$, поэтому он совпадает с углом $\angle DBC$.
Искомый угол — это угол между перпендикуляром $BH$ и диагональю $BD$, то есть $\angle HBD$.
Мы знаем, что $\angle HBC = \angle HBD + \angle DBC$.
Отсюда можем выразить $\angle HBD$:
$\angle HBD = \angle HBC - \angle DBC = 67.5^\circ - 22.5^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

Условие 2015-2022.

815. Перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $AC$, делит угол $ABC$ на два угла, величины которых относятся как $1 : 3$. Найдите угол между проведённым перпендикуляром и диагональю $BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).