Номер 820, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 820, страница 182.

Условие 2023.

820. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D, F$ и $E$ соответственно так, что $BD = BF = DE = EF$. Докажите, что точка $F$ принадлежит биссектрисе угла $BDE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы доказать, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE, необходимо доказать, что луч DF делит угол BDE на два равных угла, то есть $∠BDF = ∠EDF$.

Рассмотрим треугольники $△BDF$ и $△EDF$.

По условию задачи даны следующие равенства отрезков: $BD = BF = DE = EF$.

Сравним стороны этих двух треугольников:

1. Сторона $BD$ треугольника $△BDF$ равна стороне $DE$ треугольника $△EDF$ (по условию).

2. Сторона $BF$ треугольника $△BDF$ равна стороне $EF$ треугольника $△EDF$ (по условию).

3. Сторона $DF$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $△BDF$ и $△EDF$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $∠BDF$ в треугольнике $△BDF$ лежит напротив стороны $BF$. Угол $∠EDF$ в треугольнике $△EDF$ лежит напротив стороны $EF$. Так как стороны $BF$ и $EF$ равны, то и углы, лежащие напротив них, также равны:

$∠BDF = ∠EDF$.

Поскольку луч $DF$ делит угол $∠BDE$ на два равных угла, он является биссектрисой этого угла. Следовательно, точка F, которая лежит на луче DF, принадлежит биссектрисе угла BDE. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как из равенства $△BDF = △EDF$ (по трем сторонам) следует равенство углов $∠BDF = ∠EDF$.

Условие 2015-2022.

820. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$, $F$ и $E$ соответственно так, что $BD = BF = DE = EF$. Докажите, что точка $F$ принадлежит биссектрисе угла $BDE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).