Номер 822, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 822, страница 182.

Условие 2023.

822. Постройте параллелограмм по его вершине и серединам сторон, которым эта вершина не принадлежит.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, вершина $A$ и точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Стороны $BC$ и $CD$ не содержат вершину $A$. Нам необходимо построить параллелограмм $ABCD$, зная положение точек $A$, $M$ и $N$.

Анализ

Для решения задачи используем векторный метод. Пусть начало координат находится в точке $A$. Тогда для векторов, проведенных из точки $A$, будут справедливы следующие равенства:

1. Вектор к середине стороны $BC$ выражается как $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$. Поскольку $M$ — середина $BC$, то $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Следовательно, $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.

2. Аналогично, вектор к середине стороны $CD$ выражается как $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN}$. Поскольку $N$ — середина $CD$, то $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Следовательно, $\vec{AN} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.

Сложим эти два векторных равенства:$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}) + (\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC})$.

Используем свойства векторов в параллелограмме $ABCD$:

• $\vec{BC} = \vec{AD}$ (противоположные стороны равны и параллельны).
• $\vec{DC} = \vec{AB}$ (противоположные стороны равны и параллельны).

Подставим эти соотношения в сумму векторов:$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}) + (\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = \frac{3}{2}\vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AD} = \frac{3}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.Таким образом, мы получаем ключевое соотношение:$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2}\vec{AC}$, или $\vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{AM} + \vec{AN})$.

Это соотношение позволяет нам построить вершину $C$.

Построение

1. Соединяем точку $A$ с точками $M$ и $N$, получая отрезки $AM$ и $AN$.
2. Строим точку $P$ так, чтобы четырехугольник $AMPN$ стал параллелограммом. Для этого строим вектор $\vec{MP'}$, равный вектору $\vec{AN}$, и вектор $\vec{NP''}$, равный вектору $\vec{AM}$. Точка пересечения $P$ будет четвертой вершиной этого параллелограмма. По правилу сложения векторов $\vec{AP} = \vec{AM} + \vec{AN}$.
3. Проводим отрезок $AP$. Согласно анализу, $\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AP}$. Это значит, что точка $C$ лежит на отрезке $AP$ и делит его в отношении $AC:CP = 2:1$.
4. Делим отрезок $AP$ на три равные части. Точка, которая является второй по счету от вершины $A$, и будет искомой вершиной $C$.
5. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Чтобы найти вершину $B$, проводим луч $CM$ и откладываем на нем от точки $M$ отрезок $MB$, равный отрезку $CM$.
6. Аналогично, точка $N$ является серединой стороны $CD$. Чтобы найти вершину $D$, проводим луч $CN$ и откладываем на нем от точки $N$ отрезок $ND$, равный отрезку $CN$.
7. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

По построению (шаги 5 и 6), точка $M$ является серединой отрезка $BC$, а точка $N$ — серединой отрезка $CD$.Нам нужно доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Для этого достаточно показать, что выполняется векторное равенство $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Из построения вершины $B$ следует, что $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.Из построения вершины $D$ следует, что $\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{AC})$.

Сложим эти два равенства:$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) + \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + 2\vec{AC})$.

В то же время, по построению вершины $C$ (шаги 2-4), мы имеем $\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2}\vec{AC}$.

Приравняем правые части двух выражений для $\vec{AM} + \vec{AN}$:$\frac{3}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + 2\vec{AC})$.

Умножим обе части на 2:$3\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} + 2\vec{AC}$.

Вычтем $2\vec{AC}$ из обеих частей:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Это равенство является определением сложения векторов по правилу параллелограмма. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.Вершина $A$ дана, $M$ — середина стороны $BC$, $N$ — середина стороны $CD$, причем стороны $BC$ и $CD$ не содержат вершину $A$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый параллелограмм построен в соответствии с алгоритмом, описанным в пункте "Построение".

Условие 2015-2022.

822. Постройте параллелограмм по его вершине и серединам сторон, которым эта вершина не принадлежит.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).