Номер 823, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 823, страница 182.

Условие 2023.

823. Боковая сторона $AB$ и меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 16 см и 15 см. Какой из отрезков пересекает биссектриса угла $BAD$ — основание $BC$ или боковую сторону $CD$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, причем $BC \parallel AD$. По условию задачи, боковая сторона $AB = 16$ см, а меньшее основание $BC = 15$ см. Проведем биссектрису угла $BAD$, обозначим ее $AK$. Нам необходимо определить, какой из отрезков — основание $BC$ или боковую сторону $CD$ — пересекает эта биссектриса.

Предположим, что биссектриса $AK$ пересекает прямую, содержащую основание $BC$, в точке $M$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $BAD$, она делит его на два равных угла:$\angle BAK = \angle KAD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а прямая $AM$ является секущей, то накрест лежащие углы при этих параллельных прямых равны:$\angle BMA = \angle MAD$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BAK = \angle BMA$.Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем два угла равны ($\angle BAM = \angle BMA$), следовательно, этот треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае это стороны $AB$ и $BM$. Таким образом, мы получаем:$AB = BM$.

Из условия задачи известно, что длина боковой стороны $AB$ составляет 16 см. Значит, длина отрезка $BM$ также равна 16 см.

Теперь сравним длину отрезка $BM$ с длиной меньшего основания $BC$, которая по условию равна 15 см.Мы получили, что $BM = 16$ см, а $BC = 15$ см.Поскольку $BM > BC$, точка $M$ (точка пересечения биссектрисы с прямой $BC$) лежит на этой прямой, но за пределами отрезка $BC$. Точка $C$ находится между точками $B$ и $M$.

Это означает, что биссектриса угла $BAD$, будучи лучом, выходящим из вершины $A$ и проходящим внутри трапеции, не пересекает основание $BC$. Следовательно, для выхода за пределы трапеции она должна пересечь боковую сторону $CD$.

Ответ: Биссектриса угла $BAD$ пересекает боковую сторону $CD$.

Условие 2015-2022.

823. Боковая сторона $AB$ и меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 16 см и 15 см. Какой из отрезков пересекает биссектриса угла $BAD$ – основание $BC$ или боковую сторону $CD$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).