Номер 821, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 821, страница 182.

Условие 2023.

821. Расстояние от середины хорды $AC$ окружности до диаметра $AB$ равно 4 см. Найдите хорду $BC$, если $\angle BAC = 30^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Построим треугольник ABC. Так как AB — диаметр, а точка C лежит на окружности, то вписанный угол ∠ACB опирается на диаметр. Следовательно, $∠ACB = 90°$. Это означает, что треугольник ABC — прямоугольный.

Пусть M — середина хорды AC. По условию, расстояние от точки M до диаметра AB равно 4 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем перпендикуляр MH из точки M к диаметру AB (точка H лежит на AB). Таким образом, $MH = 4$ см.

Рассмотрим треугольник AMH. Он является прямоугольным, так как $MH \perp AB$ по построению. Угол ∠MAH в этом треугольнике совпадает с углом ∠BAC, поэтому $∠MAH = 30°$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике AMH катет MH лежит напротив угла ∠MAH, а гипотенузой является отрезок AM.

Следовательно, $MH = \frac{1}{2} AM$.

Отсюда можем найти длину AM:
$AM = 2 \cdot MH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Поскольку точка M является серединой хорды AC, то длина всей хорды AC равна удвоенной длине отрезка AM:
$AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC. Нам известна длина катета $AC = 16$ см и прилежащий к нему острый угол $∠BAC = 30°$. Требуется найти длину второго катета — BC.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла ∠BAC:
$tan(∠BAC) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения:
$tan(30°) = \frac{BC}{16}$

Зная, что $tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, выразим BC:
$BC = 16 \cdot tan(30°) = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$BC = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Условие 2015-2022.

821. Расстояние от середины хорды $AC$ окружности до диаметра $AB$ равно 4 см. Найдите хорду $BC$, если $\angle BAC = 30^{\circ}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).