Номер 819, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 819, страница 181.

Условие 2023.

819. Верно ли утверждение:

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник;

2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат;

3) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;

4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;

5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из его углов, то этот четырёхугольник — ромб?

В случае утвердительного ответа обоснуйте его, в случае отрицательного — начертите четырёхугольник, который является контрпримером.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник

Утверждение неверно. Контрпримером является равнобокая трапеция, которая не является прямоугольником. У равнобокой трапеции диагонали равны, но углы не прямые.

Например, рассмотрим трапецию $ABCD$ с вершинами $A(-2, 0)$, $B(2, 0)$, $C(1, 3)$, $D(-1, 3)$. Длина диагонали $AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$. Длина диагонали $BD = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$. Диагонали равны, но очевидно, что это не прямоугольник.

Ответ: неверно.

2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат

Утверждение неверно. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, его диагонали должны не только быть равными и перпендикулярными, но и делиться точкой пересечения пополам. В условии это не указано.

Контрпримером является выпуклый четырёхугольник (дельтоид или кайт), у которого диагонали равны и перпендикулярны, но не делятся пополам в точке пересечения. Например, возьмем две равные перпендикулярные диагонали $AC$ и $BD$, где $AC$ пересекает $BD$ не в середине.

Ответ: неверно.

3) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат

Утверждение неверно.

Свойство "диагонали точкой пересечения делятся пополам" означает, что четырёхугольник является параллелограммом. Свойство "диагонали перпендикулярны" означает, что этот параллелограмм является ромбом. Однако ромб не всегда является квадратом. Чтобы ромб был квадратом, его диагонали должны быть равны, а это условие в задаче отсутствует.

Контрпример — любой ромб, не являющийся квадратом.

Ответ: неверно.

4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат

Утверждение верно. Обоснуем его.

1. Из того, что диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, следует, что этот четырёхугольник — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
2. У этого параллелограмма диагонали равны. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
3. У этого параллелограмма диагонали перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Таким образом, наш четырёхугольник является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны). Фигура, которая является и прямоугольником, и ромбом, по определению является квадратом.

Ответ: верно.

5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из его углов, то этот четырёхугольник — ромб?

Утверждение неверно.

Рассмотрим контрпример. Пусть это четырёхугольник $ABCD$, в котором равны три последовательные стороны: $AB = BC = CD = a$. И пусть диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$.

• Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а значит $\angle BAC = \angle BCA$.
• Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAC = \angle CAD$.
• Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle BCA = \angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).
• Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — трапеция. Поскольку боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, это равнобокая трапеция.

Для того чтобы эта трапеция была ромбом, необходимо, чтобы все её стороны были равны, то есть $AD$ также должно быть равно $a$. Но это не обязательно. Можно построить трапецию, где $AB=BC=CD=a$, но $AD \neq a$. Например, трапеция, составленная из трёх равносторонних треугольников со стороной $a$. У такой трапеции основания будут $a$ и $2a$.

В этой трапеции $AD \parallel BC$. $AD=CD=BC=a$. Диагональ $BD$ будет биссектрисой угла $\angle D$, но $AB \neq a$. Это другой случай, но идея та же. Можно построить и тот, что описан в рассуждении. Главное, что существует четырёхугольник, удовлетворяющий условиям, но не являющийся ромбом.

Ответ: неверно.

Условие 2015-2022.

819. Верно ли утверждение:

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник;

2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат;

3) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;

4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;

5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из его углов, то этот четырёхугольник — ромб?

В случае утвердительного ответа обоснуйте его, в случае отрицательного — начертите четырёхугольник, который является контрпримером.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).