Номер 816, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 816, страница 181.

Условие 2023.

816. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол $60^\circ$. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, где $AD$ — большая сторона, а $AB$ — меньшая. Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По определению, прямая $l$ проходит через середину диагонали $AC$ (которая является центром прямоугольника $O$) и перпендикулярна ей.

По условию, прямая $l$ образует с большей стороной $AD$ угол $60^\circ$. Пусть $\alpha$ — это угол между диагональю $AC$ и большей стороной $AD$, то есть $\alpha = \angle CAD$.

Прямая $l$ перпендикулярна диагонали $AC$, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Угол между прямой $l$ и стороной $AD$ равен $60^\circ$. Так как углы $\angle CAD$ (угол между $AC$ и $AD$) и угол между $l$ и $AD$ имеют общую сторону (прямую, содержащую $AD$), то угол $\alpha$ можно найти как разность:$\alpha = |\text{угол}(l, AD) - \text{угол}(l, AC)| = |60^\circ - 90^\circ| = 30^\circ$.Таким образом, угол между диагональю и большей стороной прямоугольника равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем отношение сторон связано с тангенсом угла $\angle CAD$:$\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$Поскольку в прямоугольнике $CD = AB$, получаем:$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{AD}$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow AD = AB \cdot \sqrt{3}$.

По условию, отрезок серединного перпендикуляра, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Обозначим точки пересечения прямой $l$ со сторонами $AD$ и $BC$ как $P$ и $Q$ соответственно. Длина отрезка $PQ$ равна 12 см. Так как прямая $l$ проходит через центр симметрии прямоугольника $O$, точка $O$ является серединой отрезка $PQ$. Следовательно, $OP = \frac{PQ}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. Длина этого перпендикуляра равна половине длины стороны $AB$, то есть $OH = \frac{AB}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHP$, который образован отрезком $OP$, перпендикуляром $OH$ и отрезком $HP$ на стороне $AD$. В этом треугольнике:

• $\angle OHP = 90^\circ$.
• Гипотенуза $OP = 6$ см.
• Угол $\angle OPH$ — это угол между прямой $l$ и стороной $AD$, который по условию равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике можем найти катет $OH$:$OH = OP \cdot \sin(\angle OPH) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная $OH$, найдем длину меньшей стороны $AB$:$AB = 2 \cdot OH = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Наконец, найдем длину большей стороны $AD$, используя ранее выведенную формулу $AD = AB \cdot \sqrt{3}$:$AD = (6\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

Условие 2015-2022.

816. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол $60^\circ$. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Решение 2 (2015-2022).