Номер 808, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 808, страница 180.

Условие 2023.

808. В параллелограмме ABCD известно, что $2\angle ADB = \angle A + \angle BDC$. Найдите $\angle ADB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle ADB$ равен $x$. Согласно условию задачи, имеем равенство: $2\angle ADB = \angle A + \angle BDC$. Подставив наше обозначение, получим:

$2x = \angle A + \angle BDC$

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$). Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых.

При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $BD$ образуются внутренние накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$. Эти углы равны между собой:

$\angle ABD = \angle BDC$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, для $\triangle ABD$ справедливо:

$\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

Заменим в этом уравнении $\angle ABD$ на равный ему угол $\angle BDC$, а $\angle ADB$ на $x$:

$\angle A + \angle BDC + x = 180^\circ$

Из этого уравнения можно выразить сумму углов $\angle A + \angle BDC$:

$\angle A + \angle BDC = 180^\circ - x$

Теперь у нас есть два выражения для суммы $\angle A + \angle BDC$:

1. Из условия задачи: $\angle A + \angle BDC = 2x$

2. Из суммы углов треугольника: $\angle A + \angle BDC = 180^\circ - x$

Приравняем правые части этих выражений:

$2x = 180^\circ - x$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x + x = 180^\circ$

$3x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Следовательно, искомый угол $\angle ADB$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Условие 2015-2022.

808. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $2\angle ADB = \angle A + \angle BDC$. Найдите $\angle ADB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).