Номер 807, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Четырёхугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 807, страница 180.

Условие 2023.

807. Биссектриса угла $BAD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 5 : 4$. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника $BOC$ на 8 см больше периметра треугольника $COD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, а $AM$ — биссектриса угла $BAD$, где точка $M$ лежит на стороне $BC$.

По определению биссектрисы, $\angle BAM = \angle MAD$.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle BMA$ и $\angle MAD$ равны как накрест лежащие.

Из равенств $\angle BAM = \angle MAD$ и $\angle BMA = \angle MAD$ следует, что $\angle BAM = \angle BMA$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$, а его боковые стороны равны: $AB = BM$.

Согласно условию, $BM : MC = 5 : 4$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда $BM = 5x$ и $MC = 4x$.

Так как $AB = BM$, то $AB = 5x$.

Сторона $BC$ параллелограмма является суммой отрезков $BM$ и $MC$:
$BC = BM + MC = 5x + 4x = 9x$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 5x$ и $AD = BC = 9x$.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $COD$, образованные пересечением диагоналей в точке $O$.

Периметр треугольника $BOC$ равен $P_{\triangle BOC} = BO + OC + BC$.

Периметр треугольника $COD$ равен $P_{\triangle COD} = CO + OD + CD$.

По условию, $P_{\triangle BOC}$ на 8 см больше, чем $P_{\triangle COD}$:

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = 8$

$(BO + OC + BC) - (CO + OD + CD) = 8$

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, значит $BO = OD$. Упростим полученное уравнение:

$BO + OC + BC - CO - OD - CD = 8$

$BC - CD = 8$

Подставим в это равенство найденные выражения для сторон через $x$:

$9x - 5x = 8$

$4x = 8$

$x = 2$

Теперь мы можем найти длины сторон параллелограмма:

Сторона $AB = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Сторона $BC = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см.

Условие 2015-2022.

807. Биссектриса угла $BAD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 5 : 4$. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника $BOC$ на 8 см больше периметра треугольника $COD$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).