Номер 831, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 831, страница 182.

Условие 2023.

831. На медиане $BD$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $BM : MD = 3 : 2$. Прямая $AM$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. В каком отношении точка $E$ делит сторону $BC$, считая от вершины $B$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения данной задачи можно использовать теорему Менелая для треугольника и секущей. Также задачу можно решить методом дополнительного построения.

Решение с использованием теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник $BDC$ и прямую $AME$ в качестве секущей. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $E$, сторону $BD$ в точке $M$ и продолжение стороны $DC$ в точке $A$.

По теореме Менелая для треугольника $BDC$ и секущей $AME$ справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DM}{MB} = 1 $$

Проанализируем каждое отношение в формуле:

1. По условию, $BD$ является медианой треугольника $ABC$. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AC$. Следовательно, $AD = DC$, а длина всей стороны $AC$ равна $CA = AD + DC = 2AD$. Отсюда находим отношение:

   $$ \frac{CA}{AD} = \frac{2AD}{AD} = 2 $$

2. По условию, точка $M$ делит медиану $BD$ в отношении $BM : MD = 3:2$. Из этого отношения получаем:

   $$ \frac{BM}{MD} = \frac{3}{2} \implies \frac{DM}{MB} = \frac{2}{3} $$

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{BE}{EC} \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} = 1 $$

Упростим полученное выражение:

$$ \frac{BE}{EC} \cdot \frac{4}{3} = 1 $$

Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{BE}{EC}$:

$$ \frac{BE}{EC} = \frac{3}{4} $$

Таким образом, точка $E$ делит сторону $BC$, считая от вершины $B$, в отношении $3:4$.

Ответ: $3:4$.

Решение с помощью дополнительного построения

1. Проведем через точку $D$ прямую, параллельную прямой $AE$, до пересечения со стороной $BC$ в точке $K$. Таким образом, по построению $DK \parallel AE$.

2. Рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $D$ — середина стороны $AC$ (поскольку $BD$ — медиана) и $DK \parallel AE$, то по теореме Фалеса отрезок $DK$ является средней линией трапеции (если рассматривать $A,E,K,D$) или, что проще, $K$ является серединой отрезка $EC$. Значит, $EK = KC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BDK$. В нем отрезок $ME$ параллелен стороне $DK$ ($ME \parallel DK$, так как точки $A, M, E$ лежат на одной прямой). По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) имеем:

$$ \frac{BE}{EK} = \frac{BM}{MD} $$

4. По условию задачи дано отношение $BM:MD = 3:2$. Подставим это в наше равенство:

$$ \frac{BE}{EK} = \frac{3}{2} $$

5. Из этого отношения можно выразить $BE$ через $EK$: $BE = \frac{3}{2}EK$.

6. Мы ищем отношение $BE$ к $EC$. Мы знаем, что $EC = EK + KC$. А так как из пункта 2 мы знаем, что $EK = KC$, то $EC = EK + EK = 2EK$.

7. Найдем искомое отношение:

$$ \frac{BE}{EC} = \frac{\frac{3}{2}EK}{2EK} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} $$

Таким образом, точка $E$ делит сторону $BC$ в отношении $3:4$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:4$.

Условие 2015-2022.

среднюю линию трапеции на три равные части.

831. На медиане $BD$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $BM : MD = 3 : 2$. Прямая $AM$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. В каком отношении точка $E$ делит сторону $BC$, считая от вершины $B$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).