Номер 832, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 832, страница 182.

Условие 2023.

832. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает диагональ $BD$ и сторону $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, $BE : ED = 2 : 7$.

Найдите отношение $BF : FC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектриса угла $A$, которую обозначим как $AF$, пересекает диагональ $BD$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $AE$ является биссектрисой угла $BAD$. Согласно свойству биссектрисы угла в треугольнике, она делит противолежащую сторону (в данном случае $BD$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AD$). Таким образом, мы можем записать соотношение: $$ \frac{AB}{AD} = \frac{BE}{ED} $$ Из условия задачи нам известно, что $BE : ED = 2 : 7$. Подставив это значение в формулу, получаем: $$ \frac{AB}{AD} = \frac{2}{7} $$

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны, то есть $AD = BC$. Заменим $AD$ на $BC$ в полученном выше равенстве: $$ \frac{AB}{BC} = \frac{2}{7} $$

Также, в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Прямая $AF$ является секущей для этих параллельных прямых. В этом случае накрест лежащие углы $\angle DAF$ и $\angle BFA$ равны: $$ \angle DAF = \angle BFA $$ По определению, $AF$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит этот угол на два равных угла: $$ \angle BAF = \angle DAF $$ Из двух последних равенств следует, что: $$ \angle BAF = \angle BFA $$

Теперь рассмотрим треугольник $ABF$. Так как два его угла ($\angle BAF$ и $\angle BFA$) равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AF$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BF$.

Вернемся к соотношению $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{7}$ и заменим в нем $AB$ на равный ему отрезок $BF$: $$ \frac{BF}{BC} = \frac{2}{7} $$ Нам нужно найти отношение $BF : FC$. Мы знаем, что точка $F$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BF + FC$. Отсюда $FC = BC - BF$. Из пропорции $\frac{BF}{BC} = \frac{2}{7}$ можно выразить $BC$ через $BF$: $BC = \frac{7}{2} BF$. Тогда $FC = \frac{7}{2} BF - BF = (\frac{7}{2} - 1) BF = \frac{5}{2} BF$. Найдем искомое отношение: $$ \frac{BF}{FC} = \frac{BF}{\frac{5}{2} BF} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} $$ Следовательно, $BF : FC = 2 : 5$.

Ответ: $2:5$.

Условие 2015-2022.

832. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает диагональ $BD$ и сторону $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, $BE : ED = 2 : 7$.

Найдите отношение $BF : FC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).