Номер 833, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Подобие треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 833, страница 182.

Условие 2023.

833. Медианы $AD$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отрезки $BD$, $DK$ и $KC$, если $BC = 18$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано: $\triangle ABC$, $AD$ и $BM$ - медианы, $AD \cap BM = O$, $K \in BC$, $OK \parallel AC$, $BC = 18$ см.
Найти: $BD, DK, KC$.

BD

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, длина отрезка $BD$ равна половине длины стороны $BC$.
$BD = DC = \frac{1}{2} BC$
Подставляем известное значение $BC = 18$ см:
$BD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.
Ответ: $BD = 9$ см.

DK и KC

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Так как $AD$ и $BM$ - медианы, пересекающиеся в точке $O$, то для медианы $AD$ справедливо соотношение:
$AO : OD = 2 : 1$

Рассмотрим $\triangle ADC$. По условию задачи, прямая $OK$ параллельна стороне $AC$ ($OK \parallel AC$) и пересекает сторону $DC$ в точке $K$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), прямая, параллельная одной из сторон треугольника, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки:
$\frac{DK}{KC} = \frac{DO}{OA}$

Из соотношения $AO : OD = 2 : 1$ следует, что $\frac{DO}{OA} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\frac{DK}{KC} = \frac{1}{2}$, откуда получаем $KC = 2 \cdot DK$.

Точка $K$ лежит на отрезке $DC$, поэтому $DC = DK + KC$. Ранее мы нашли, что $DC = BD = 9$ см. Подставим $KC = 2 \cdot DK$ в это равенство:
$9 = DK + 2 \cdot DK$
$9 = 3 \cdot DK$
$DK = \frac{9}{3} = 3$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $KC$:
$KC = 2 \cdot DK = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Проверка: $BD + DK + KC = 9 + 3 + 6 = 18$ см, что совпадает с длиной $BC$.
Ответ: $DK = 3$ см, $KC = 6$ см.

Условие 2015-2022.

833. Медианы $AD$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $BD$, $DK$ и $KC$, если $BC = 18$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).