Номер 845, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 845, страница 183.

Условие 2023.

845. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, на 6 см меньше основания. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна $x$ см.

По условию задачи, боковая сторона равна $15$ см, а высота, проведённая к основанию, на $6$ см меньше основания. Следовательно, длина высоты равна $(x - 6)$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников:
– гипотенуза — это боковая сторона исходного треугольника, равная $15$ см;
– один катет — это высота, равная $(x - 6)$ см;
– второй катет — это половина основания, равная $\frac{x}{2}$ см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Составим уравнение:
$(\frac{x}{2})^2 + (x - 6)^2 = 15^2$

Решим это уравнение:
$\frac{x^2}{4} + (x^2 - 12x + 36) = 225$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 + 4(x^2 - 12x + 36) = 225 \cdot 4$
$x^2 + 4x^2 - 48x + 144 = 900$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:
$5x^2 - 48x + 144 - 900 = 0$
$5x^2 - 48x - 756 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-756) = 2304 + 15120 = 17424$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{17424} = 132$
$x_1 = \frac{48 + 132}{2 \cdot 5} = \frac{180}{10} = 18$
$x_2 = \frac{48 - 132}{2 \cdot 5} = \frac{-84}{10} = -8.4$

Длина основания треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -8.4$ не является решением задачи. Также проверим, что высота при этом положительна: $h = x-6 = 18-6 = 12 > 0$.
Таким образом, основание треугольника равно $18$ см.

Ответ: 18 см.

Условие 2015-2022.

845. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, на 6 см меньше основания. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).