Номер 847, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 847, страница 184.

Условие 2023.

847. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом. Из точки $O$ проведён перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию, точка $H$ делит сторону $AB$ на отрезки $AH = 4$ см и $HB = 25$ см.

Сначала найдём длину стороны ромба. Все стороны ромба равны, поэтому:
$a = AB = AH + HB = 4 + 25 = 29$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является прямоугольным, так как диагонали ромба перпендикулярны ($ \angle AOB = 90^\circ $). В этом треугольнике $AO$ и $BO$ — катеты, а сторона ромба $AB$ — гипотенуза. $OH$ — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Для катета $AO$ проекцией является отрезок $AH$.
Для катета $BO$ проекцией является отрезок $HB$.
Следовательно, мы можем записать:
$AO^2 = AB \cdot AH$
$BO^2 = AB \cdot HB$

Подставим известные значения и вычислим длины половин диагоналей $AO$ и $BO$:
$AO^2 = 29 \cdot 4 = 116$
$AO = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см.

$BO^2 = 29 \cdot 25 = 725$
$BO = \sqrt{725} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}$ см.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому их полные длины $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$ равны:
$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2\sqrt{29} = 4\sqrt{29}$ см.
$d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5\sqrt{29} = 10\sqrt{29}$ см.

Ответ: длины диагоналей ромба равны $4\sqrt{29}$ см и $10\sqrt{29}$ см.

Условие 2015-2022.

847. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).