Номер 848, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 848, страница 184.

Условие 2023.

848. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 5$ см и $BC = 12$ см. Следовательно, $BC$ является большим катетом.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, который по условию лежит на гипотенузе $AB$. Обозначим радиус окружности как $R$.

Согласно условию, окружность касается большего катета $BC$. Пусть $D$ — точка касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OD \perp BC$, и длина отрезка $OD$ равна радиусу, то есть $OD = R$.

Также по условию, окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего большему катету. Большему катету $BC$ противолежит угол при вершине $A$. Следовательно, окружность проходит через точку $A$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$.

Поскольку $AC \perp BC$ (так как угол $C$ прямой) и $OD \perp BC$, то прямые $AC$ и $OD$ параллельны ($AC \parallel OD$).

Рассмотрим треугольники $\triangle OBD$ и $\triangle ABC$. Угол при вершине $B$ у них общий, а углы $\angle ODB$ и $\angle ACB$ оба прямые ($\angle ODB = \angle ACB = 90^\circ$). Следовательно, треугольники подобны по двум углам: $\triangle OBD \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{OD}{AC} = \frac{OB}{AB}$

Подставим известные нам значения в эту пропорцию:
$OD = R$
$AC = 5$ см
$AB = 13$ см
Точка $O$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $OB = AB - OA = 13 - R$.

Получаем уравнение:
$\frac{R}{5} = \frac{13 - R}{13}$

Решим это уравнение методом перекрестного умножения:
$13 \cdot R = 5 \cdot (13 - R)$
$13R = 65 - 5R$
$13R + 5R = 65$
$18R = 65$
$R = \frac{65}{18}$

Ответ: $\frac{65}{18}$ см.

Условие 2015-2022.

848. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).