Номер 855, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 855, страница 184.

Условие 2023.

855. Катет прямоугольного треугольника равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b_1$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b_1$

По условию задачи, один из катетов равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Пусть катет $b_1 = b$. Тогда нам необходимо найти длину второго катета $a$.

В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно тангенсу угла. Для угла $\beta$ имеем:

$\tan{\beta} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b_1}{a} = \frac{b}{a}$

Выразим из этого соотношения неизвестный катет $a$:

$a = \frac{b}{\tan{\beta}}$

Поскольку $\cot{\beta} = \frac{1}{\tan{\beta}}$, мы можем записать:

$a = b \cdot \cot{\beta}$

Теперь подставим найденное выражение для катета $a$ в формулу для площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot (b \cot{\beta}) \cdot b = \frac{1}{2}b^2\cot{\beta}$

Ответ: $S = \frac{1}{2}b^2\cot{\beta}$

Условие 2015-2022.

855. Катет прямоугольного треугольника равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).