Номер 850, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 850, страница 184.

Условие 2023.

850. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть данная окружность имеет диаметр $AB$. Точка $C$ лежит на окружности. Из точки $C$ на диаметр $AB$ опущен перпендикуляр $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра.

По условию задачи, длина перпендикуляра $CH = 18$ см. Перпендикуляр делит диаметр на два отрезка $AH$ и $HB$. Пусть длина меньшего отрезка равна $x$ см, тогда длина большего отрезка будет $(x + 27)$ см.

Рассмотрим треугольник $ACB$. Угол $\angle ACB$ является прямым ($90^\circ$), так как он вписан в окружность и опирается на диаметр $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ACB$ высота $CH$, проведенная к гипотенузе $AB$, связана с проекциями катетов на гипотенузу (отрезками $AH$ и $HB$) следующим соотношением: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения в эту формулу:

$18^2 = (x + 27) \cdot x$

$324 = x^2 + 27x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 27x - 324 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 729 + 1296 = 2025$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + 45}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - 45}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $x = 9$.

Следовательно, длина одного отрезка диаметра равна 9 см, а длина другого — $9 + 27 = 36$ см.

Диаметр окружности равен сумме длин этих двух отрезков:

Диаметр = $9 + 36 = 45$ см.

Ответ: 45 см.

Условие 2015-2022.

850. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).