Номер 851, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 851, страница 184.

Условие 2023.

851. Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площадь закрашенной фигуры (рис. 250).

Рис. 250

а

б

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

а

Площадь закрашенной фигуры можно найти, вычтя из площади всего параллелограмма $S$ площади двух незакрашенных треугольников. Пусть точки на сторонах $BC$ и $CD$ являются их серединами. Обозначим их $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ и $CN = ND = \frac{1}{2}CD$.

Рассмотрим незакрашенные треугольники $ABM$ и $ADN$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно выразить как $S = BC \cdot h_1$, где $h_1$ — высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.
Площадь треугольника $ABM$ равна $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_1$. Поскольку $BM = \frac{1}{2}BC$, то $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot h_1 = \frac{1}{4} (BC \cdot h_1) = \frac{1}{4}S$.

Аналогично, площадь параллелограмма $S = CD \cdot h_2$, где $h_2$ — высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $CD$.
Площадь треугольника $ADN$ равна $S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot h_2$. Поскольку $DN = \frac{1}{2}CD$, то $S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}CD) \cdot h_2 = \frac{1}{4} (CD \cdot h_2) = \frac{1}{4}S$.

Суммарная площадь незакрашенных частей равна $S_{незакр.} = S_{ABM} + S_{ADN} = \frac{1}{4}S + \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}S$.

Тогда площадь закрашенной фигуры равна: $S_{закр.} = S - S_{незакр.} = S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}S$.

Ответ: $\frac{1}{2}S$.

б

В этом случае площадь закрашенной фигуры также найдем как разность площади параллелограмма $S$ и площадей трех незакрашенных треугольников. Пусть точки на сторонах $AB$ и $AD$ являются их серединами. Обозначим их $K$ и $L$ соответственно. Таким образом, $AK = KB = \frac{1}{2}AB$ и $AL = LD = \frac{1}{2}AD$.

Рассмотрим незакрашенные треугольники $AKL$, $KBC$ и $LDC$.

1. Площадь треугольника $AKL$.
Площадь параллелограмма можно выразить через две стороны и угол между ними: $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)$.
Площадь треугольника $AKL$ равна $S_{AKL} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AL \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{8}S$.

2. Площадь треугольника $KBC$.
В параллелограмме $BC = AD$ и $\angle B = 180^\circ - \angle A$, следовательно $\sin(\angle B) = \sin(\angle A)$.
Площадь треугольника $KBC$ равна $S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot KB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{4} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{4}S$.

3. Площадь треугольника $LDC$.
В параллелограмме $CD = AB$ и $\angle D = 180^\circ - \angle A$, следовательно $\sin(\angle D) = \sin(\angle A)$.
Площадь треугольника $LDC$ равна $S_{LDC} = \frac{1}{2} \cdot LD \cdot CD \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot AB \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{4} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{4}S$.

Суммарная площадь незакрашенных частей равна $S_{незакр.} = S_{AKL} + S_{KBC} + S_{LDC} = \frac{1}{8}S + \frac{1}{4}S + \frac{1}{4}S = \frac{1+2+2}{8}S = \frac{5}{8}S$.

Тогда площадь закрашенной фигуры (треугольника $CKL$) равна: $S_{закр.} = S - S_{незакр.} = S - \frac{5}{8}S = \frac{3}{8}S$.

Ответ: $\frac{3}{8}S$.

Условие 2015-2022.

851. Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площадь закрашенной фигуры (рис. 238).

Рис. 238

а

На рисунке а) изображен параллелограмм ABCD, в котором закрашена часть, представляющая собой треугольник ADC.

б

На рисунке б) изображен параллелограмм ABCD. Точка M отмечена как середина стороны AB, а точка N — как середина стороны CD. Закрашена часть, представляющая собой четырехугольник MNDA.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).