Номер 849, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 849, страница 184.

Условие 2023.

849. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6$ см и $b = 8$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Меньший острый угол треугольника лежит напротив меньшей стороны. Меньший катет равен $a=6$ см. Обозначим вершину этого угла как $A$. Таким образом, требуется найти расстояние от вершины $A$ до центра вписанной окружности (инцентра $I$).

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности ($r$) вычисляется по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Расстояние от вершины $A$ до инцентра $I$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника $AKI$, где $K$ - точка касания вписанной окружности с катетом $b$, прилежащим к углу $A$. Катетами этого треугольника являются радиус $IK = r = 2$ см и отрезок касательной $AK$.

Длину отрезка касательной от вершины до точки касания можно найти по формуле $AK = p - a$, где $p$ - полупериметр, а $a$ - сторона, противолежащая углу $A$.

Полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = 12$ см.

Тогда $AK = p - a = 12 - 6 = 6$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AKI$ найдем искомое расстояние $AI$:

$AI = \sqrt{AK^2 + IK^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

Условие 2015-2022.

849. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).