Номер 31.10, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 31. Начальные сведения о статистике - номер 31.10, страница 294.

Условие.

31.10. Докажите, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48.

Решение.

31.10.

Чтобы доказать, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48, необходимо показать, что оно делится на 48 без остатка. Для этого достаточно доказать, что выражение делится на 3 и на 16, так как $48 = 3 \times 16$ и числа 3 и 16 являются взаимно простыми.

Сначала преобразуем исходное выражение, приведя степени к общему основанию 3. Известно, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим это в выражение: $27^6 - 9^7 = (3^3)^6 - (3^2)^7$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{3 \times 6} - 3^{2 \times 7} = 3^{18} - 3^{14}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $3^{14}$: $3^{18} - 3^{14} = 3^{14}(3^{18-14} - 1) = 3^{14}(3^4 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках: $3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$

Таким образом, исходное выражение равно произведению: $3^{14} \times 80$

Проверим делимость этого произведения на 3 и на 16.
1. Множитель $3^{14}$ очевидно делится на 3. Следовательно, и все произведение $3^{14} \times 80$ делится на 3.
2. Множитель 80 можно представить как $80 = 16 \times 5$. Это означает, что 80 делится на 16. Следовательно, и все произведение $3^{14} \times 80$ делится на 16.

Поскольку выражение $27^6 - 9^7$ делится и на 3, и на 16, оно делится на их произведение, то есть на 48. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $27^6 - 9^7$ кратно 48.