Номер 31.11, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 31. Начальные сведения о статистике - номер 31.11, страница 294.

Условие.

31.11. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите скорость каждого туриста.

Решение.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого туриста, а $v_2$ км/ч — скорость второго туриста. Общее расстояние $S = 30$ км.

1. Составление уравнения по первому условию

Когда туристы выходят одновременно навстречу друг другу, они встречаются через 3 ч 45 мин. Переведем время в часы: $t_1 = 3$ ч $45$ мин $= 3 + \frac{45}{60} = 3 + \frac{3}{4} = 3.75$ ч.

При движении навстречу их скорости складываются (скорость сближения). Суммарное расстояние, которое они проходят, равно расстоянию между пунктами. Используем формулу $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot t_1 = S$

$(v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30$

Выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75} = \frac{30}{15/4} = 30 \cdot \frac{4}{15} = 8$

Итак, первое уравнение: $v_1 + v_2 = 8$.

2. Составление уравнения по второму условию

Если бы первый турист вышел на 2 часа раньше второго, то они бы встретились через 4,5 часа после выхода первого. Это означает, что первый турист был в пути $t_{1}' = 4.5$ ч.

Второй турист вышел на 2 часа позже, значит, он был в пути $t_{2}' = 4.5 - 2 = 2.5$ ч.

За это время первый турист прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{1}' = 4.5 v_1$ км.

Второй турист прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_{2}' = 2.5 v_2$ км.

Вместе они прошли всё расстояние в 30 км, то есть $S_1 + S_2 = S$.

Получаем второе уравнение: $4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30$.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 8 \\ 4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$: $v_1 = 8 - v_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4.5(8 - v_2) + 2.5 v_2 = 30$

$36 - 4.5 v_2 + 2.5 v_2 = 30$

$36 - 2 v_2 = 30$

$2 v_2 = 36 - 30$

$2 v_2 = 6$

$v_2 = 3$ (км/ч)

Теперь найдем скорость первого туриста:

$v_1 = 8 - v_2 = 8 - 3 = 5$ (км/ч)

Таким образом, скорость первого туриста равна 5 км/ч, а скорость второго — 3 км/ч.

Ответ: скорость первого туриста — 5 км/ч, скорость второго туриста — 3 км/ч.