Вопросы?, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 32. Статистические характеристики - страница 300.

Условие.

1. Как в статистике называют специальные методики, по которым делают выводы или принимают решения?

2. Приведите примеры применения статистической информации в форме средних значений.

3. Приведите примеры, когда статистическая информация в форме средних значений неточно отображает ситуацию.

4. Опишите частотную таблицу.

5. Опишите, что такое мода.

6. Опишите, как найти относительную частоту.

7. Какое число называют медианой упорядоченной выборки?

8. Что называют мерами центральной тенденции совокупности данных?

9. Чему равно среднее арифметическое значение отклонений любой выборки?

10. Среднее значение какой выборки называют дисперсией выборки?

11. Какую величину называют средним квадратичным отклонением выборки?

Решение.

1. В статистике специальные методики, по которым на основе анализа данных делают выводы или принимают решения, называют методами математической статистики. Они позволяют делать обобщения о свойствах большой группы объектов (генеральной совокупности) на основе изучения ее меньшей части (выборки). Ответ: Методы математической статистики.

2. Статистическая информация в форме средних значений используется повсеместно. Например, для определения средней заработной платы в стране или отрасли, для расчета средней температуры за месяц, для вычисления среднего балла успеваемости учащихся или для оценки средней продолжительности жизни населения. Ответ: Средняя заработная плата, средняя температура, средний балл успеваемости.

3. Среднее значение может неточно отображать ситуацию, особенно при наличии в данных сильно выделяющихся значений (выбросов) или при асимметричном распределении. Классический пример — средняя зарплата в организации. Если 9 сотрудников получают по 30 000 рублей, а их руководитель — 300 000 рублей, то средняя зарплата составит $(9 \times 30000 + 300000) / 10 = 57000$ рублей. Эта цифра более чем в 1.5 раза выше зарплаты большинства сотрудников и не отражает их реальный доход. Ответ: Расчет средней зарплаты в коллективе с большим разрывом в доходах.

4. Частотная таблица — это способ организации и представления данных в виде таблицы. В простейшем случае она состоит из двух столбцов. В первом столбце перечисляются уникальные значения (или интервалы значений) исследуемого признака, а во втором — соответствующая им частота, то есть количество раз, которое данное значение встретилось в выборке. Частотные таблицы помогают наглядно представить распределение данных. Ответ: Таблица, показывающая, сколько раз каждое значение из набора данных встречается в выборке.

5. Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. Набор данных может иметь одну моду (унимодальный), две моды (бимодальный), несколько мод (мультимодальный) или не иметь моды вовсе, если все значения встречаются одинаковое количество раз. Например, в выборке {2, 3, 3, 5, 7, 8, 3} модой является число 3, так как оно встречается три раза — чаще, чем любое другое число. Ответ: Значение в выборке, которое встречается наиболее часто.

6. Относительная частота показывает, какую долю или часть от общего числа наблюдений составляет определенное значение. Чтобы найти относительную частоту, нужно разделить частоту появления этого значения на общем объеме выборки (общее количество всех наблюдений). Формула для расчета относительной частоты $W$: $W = \frac{k}{n}$, где $k$ — это частота значения, а $n$ — общий объем выборки. Ответ: Разделить частоту значения на общее количество наблюдений в выборке.

7. Медианой упорядоченной выборки (расположенной в порядке возрастания или убывания) называют число, которое делит ее на две равные по численности части. Если количество элементов в выборке нечетное ($n$ — нечетное), то медиана — это элемент, стоящий ровно посередине, на месте с номером $(n+1)/2$. Если количество элементов четное ($n$ — четное), то медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, стоящих на местах $n/2$ и $n/2 + 1$. Ответ: Число, которое находится в середине упорядоченной выборки.

8. Мерами центральной тенденции называют числовые характеристики, которые описывают "центральное" или "типичное" значение в наборе данных. Они показывают, вокруг какого значения сгруппированы данные. К основным мерам центральной тенденции относятся среднее арифметическое, медиана и мода. Ответ: Среднее арифметическое, медиана, мода.

9. Среднее арифметическое значение отклонений элементов выборки от их среднего арифметического значения всегда равно нулю. Если выборка состоит из элементов $x_1, x_2, \ldots, x_n$, а их среднее арифметическое равно $\bar{x}$, то сумма отклонений равна $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. Соответственно, среднее значение этих отклонений тоже равно нулю: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$. Ответ: 0.

10. Дисперсией выборки называют среднее арифметическое значение квадратов отклонений элементов выборки от их среднего значения. То есть, это среднее значение, посчитанное для выборки, состоящей из квадратов разностей $(x_i - \bar{x})^2$. Формула для выборочной (смещенной) дисперсии: $D_B = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Ответ: Среднее значение квадратов отклонений значений выборки от их среднего арифметического.

11. Средним квадратичным отклонением выборки (или стандартным отклонением) называют величину, равную квадратному корню из дисперсии выборки. Этот показатель измеряет степень разброса данных относительно их среднего значения и выражается в тех же единицах, что и сами данные. Формула: $\sigma = \sqrt{D_B} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$. Ответ: Квадратный корень из дисперсии выборки.