Номер 2.23, страница 13 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

II. Механические колебания и волны - номер 2.23, страница 13.

Условие.

2.23 На пружине жёсткостью 25 Н/м подвешен груз массой 160 г. Определите период колебаний груза. Постройте график колебаний груза на пружине, если амплитуда колебаний 3 см. При построении графика принять, что в момент времени $t=0, x=0$.

Решение.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 25 \text{ Н/м}$

Масса груза, $m = 160 \text{ г}$

Амплитуда колебаний, $A = 3 \text{ см}$

Начальные условия: при $t=0$, $x=0$

Перевод в систему СИ:

Масса: $m = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$

Амплитуда: $A = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

1. Период колебаний груза, $T$

2. Построить график колебаний $x(t)$

Решение:

1. Определение периода колебаний

Колебания груза на пружине являются гармоническими. Период $T$ таких колебаний для пружинного маятника определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.16 \text{ кг}}{25 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{0.0064 \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 0.08 \text{ с} = 0.16\pi \text{ с}$

Вычислим приближенное значение периода:

$T \approx 0.16 \cdot 3.14159 \approx 0.503 \text{ с}$

Округлим до десятых: $T \approx 0.5 \text{ с}$.

2. Построение графика колебаний

Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ — смещение от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитуда дана по условию: $A = 3 \text{ см}$.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

$\omega = \frac{2\pi}{0.16\pi \text{ с}} = \frac{2}{0.16} \text{ рад/с} = 12.5 \text{ рад/с}$

Начальную фазу $\phi_0$ найдём из начальных условий: в момент времени $t=0$ смещение $x=0$.

$x(0) = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0)$

$0 = A \sin(\phi_0) \implies \sin(\phi_0) = 0$

Простейшее решение этого уравнения — $\phi_0 = 0$. Это означает, что в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, двигаясь в сторону положительных значений координаты $x$.

Таким образом, уравнение движения груза имеет вид (будем измерять смещение $x$ в сантиметрах):

$x(t) = 3 \sin(12.5 t)$

Графиком этой функции является синусоида. Ось ординат — смещение $x$ (в см), ось абсцисс — время $t$ (в с). График проходит через начало координат, имеет амплитуду 3 см и период $T \approx 0.5$ с.

Ключевые точки для одного периода:

• $t = 0$: $x = 0$ (положение равновесия)
• $t = T/4 \approx 0.125 \text{ с}$: $x = 3 \text{ см}$ (максимальное смещение)
• $t = T/2 \approx 0.25 \text{ с}$: $x = 0$ (положение равновесия)
• $t = 3T/4 \approx 0.375 \text{ с}$: $x = -3 \text{ см}$ (минимальное смещение)
• $t = T \approx 0.5 \text{ с}$: $x = 0$ (завершение первого полного колебания)

График зависимости смещения от времени $x(t)$:

Ответ:

Период колебаний груза составляет $T = 0.16\pi \text{ с} \approx 0.5 \text{ с}$.

Уравнение колебаний, описывающее движение груза: $x(t) = 3 \sin(12.5 t)$, где смещение $x$ выражено в сантиметрах, а время $t$ — в секундах. График колебаний представлен в решении.