Номер 5.4, страница 27 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

V. Геометрическая оптика - номер 5.4, страница 27.

Условие.

5.4 Определите, на какой высоте висит уличный фонарь, если тень от вертикально расположенной палки высотой 1 м имеет длину 0,8 м, а при перемещении на 1 м от фонаря вдоль направления тени длина тени увеличивается до 1,2 м.

Решение.

Дано:

Высота палки, $h = 1$ м
Длина тени в первом положении, $L_1 = 0,8$ м
Перемещение палки от фонаря, $d = 1$ м
Длина тени во втором положении, $L_2 = 1,2$ м
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высоту фонаря, $H$.

Решение:

Эта задача основана на принципе подобия треугольников. Пусть $H$ — искомая высота фонаря, а $x$ — начальное горизонтальное расстояние от основания фонаря до палки. Луч света от фонаря, проходящий через верхушку палки, образует тень на земле.

В первом положении образуются два подобных прямоугольных треугольника: один большой, с катетами $H$ (высота фонаря) и $(x + L_1)$ (расстояние от фонаря до конца тени), и второй малый, с катетами $h$ (высота палки) и $L_1$ (длина тени). Из подобия треугольников следует соотношение:

$ \frac{H}{h} = \frac{x + L_1}{L_1} $ (1)

Когда палку перемещают на расстояние $d$ дальше от фонаря, новое расстояние от фонаря до палки становится $(x+d)$, а новая длина тени — $L_2$. Аналогично первому случаю, из подобия новых треугольников получаем:

$ \frac{H}{h} = \frac{(x + d) + L_2}{L_2} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $H$ и $x$. Преобразуем оба уравнения, чтобы выразить $x$.

Из уравнения (1):

$ \frac{H}{h} = \frac{x}{L_1} + 1 \implies \frac{x}{L_1} = \frac{H}{h} - 1 \implies x = L_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) $

Из уравнения (2):

$ \frac{H}{h} = \frac{x+d}{L_2} + 1 \implies \frac{x+d}{L_2} = \frac{H}{h} - 1 \implies x+d = L_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) $

Подставим выражение для $x$ из первого преобразованного уравнения во второе:

$ L_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) + d = L_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) $

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $H$:

$ d = L_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) - L_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) $

$ d = (L_2 - L_1) \left( \frac{H}{h} - 1 \right) $

$ \frac{d}{L_2 - L_1} = \frac{H}{h} - 1 $

$ \frac{H}{h} = 1 + \frac{d}{L_2 - L_1} $

$ H = h \left( 1 + \frac{d}{L_2 - L_1} \right) $

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$ H = 1 \text{ м} \cdot \left( 1 + \frac{1 \text{ м}}{1,2 \text{ м} - 0,8 \text{ м}} \right) = 1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{0,4} \right) = 1 \cdot (1 + 2,5) = 3,5 \text{ м} $

Ответ: высота, на которой висит уличный фонарь, составляет 3,5 м.