Номер 5.8, страница 28 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

V. Геометрическая оптика - номер 5.8, страница 28.

Условие.

5.8 В комнате на стене вертикально весит зеркало, причём так, что верхний край зеркала расположен на уровне верхней части головы человека ростом 176 см. Какой наименьшей длины должно быть зеркало, чтобы человек видел себя во весь рост?

Решение.

Дано:

Рост человека, $H = 176$ см.

Верхний край зеркала находится на уровне верхней части головы человека.

Перевод в систему СИ:
$H = 1.76$ м.

Найти:

Наименьшую длину зеркала $L$, чтобы человек видел себя во весь рост.

Решение:

Для того чтобы человек мог видеть себя в зеркале во весь рост, лучи света от его макушки и от его ступней должны после отражения от зеркала попадать ему в глаза.

Воспользуемся законами геометрической оптики. Пусть рост человека равен $H$, а высота расположения его глаз над уровнем пола — $h_{гл}$.

1. Отражение от макушки. Чтобы увидеть макушку (на высоте $H$), луч света должен отразиться от зеркала в точке, расположенной по вертикали точно посредине между макушкой и глазами. Высота этой точки на зеркале (верхняя точка отражения) равна:

$h_{верх} = \frac{H + h_{гл}}{2}$

2. Отражение от ступней. Чтобы увидеть ступни (на высоте 0), луч света должен отразиться от зеркала в точке, расположенной по вертикали посредине между ступнями и глазами. Высота этой точки на зеркале (нижняя точка отражения) равна:

$h_{низ} = \frac{0 + h_{гл}}{2} = \frac{h_{гл}}{2}$

Минимально необходимая длина зеркала $L$ равна разности высот между верхней и нижней точками отражения:

$L = h_{верх} - h_{низ} = \frac{H + h_{гл}}{2} - \frac{h_{гл}}{2} = \frac{H + h_{гл} - h_{гл}}{2} = \frac{H}{2}$

Этот результат показывает, что в общем случае минимальная длина зеркала для обзора в полный рост равна половине роста человека. Этот размер не зависит ни от расстояния до зеркала, ни от точного расположения глаз.

В условии задачи есть дополнительное ограничение: верхний край зеркала расположен на уровне верхней части головы, то есть на высоте $H$. В этом случае, чтобы увидеть свои ступни, человек нуждается в зеркале, которое доходит до высоты $h_{низ} = \frac{h_{гл}}{2}$. Тогда длина зеркала составила бы $L' = H - \frac{h_{гл}}{2}$. Эта величина зависит от высоты глаз $h_{гл}$, которая в условии не дана.

Однако, если сделать физически оправданное допущение для упрощения, что глаза человека находятся на уровне макушки (то есть $h_{гл} \approx H$), то задача становится полностью определённой. При $h_{гл} = H$ необходимая высота верхнего края зеркала для обзора макушки будет $h_{верх} = \frac{H + H}{2} = H$. Это в точности совпадает с условием задачи. Нижняя точка отражения для обзора ступней будет на высоте $h_{низ} = \frac{H}{2}$.

Тогда наименьшая длина зеркала при данном условии и допущении составит:

$L = h_{верх} - h_{низ} = H - \frac{H}{2} = \frac{H}{2}$

Таким образом, условие о положении верхнего края зеркала делает задачу однозначной, если принять, что глаза находятся на уровне макушки.

Произведем вычисление:

$L = \frac{176 \text{ см}}{2} = 88 \text{ см}$

Ответ:

Наименьшая длина зеркала должна быть 88 см.