Номер 5, страница 57, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 14. Период и частота. Линейная и угловая скорости. Вопросы и задания - номер 5, страница 57.

Условие.

5. Две частицы движутся по концентрическим окружностям с разными линейными скоростями, которые в любой момент времени остаются параллельными. Каков должен быть характер движения частиц, чтобы расстояние между ними оставалось неизменным?

Решение.

Решение:

Пусть две частицы движутся по концентрическим окружностям с радиусами $R_1$ и $R_2$ и общим центром в начале координат. Вектор линейной скорости при движении по окружности в любой точке направлен по касательной к этой окружности.

Условие, согласно которому векторы линейных скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ всегда параллельны, означает, что точки, в которых находятся частицы, в любой момент времени лежат на одной прямой, проходящей через центр окружностей. Существует два варианта такого расположения:

1. Частицы находятся на одной прямой по одну сторону от центра. В этом случае их угловые координаты $\phi_1(t)$ и $\phi_2(t)$ совпадают: $\phi_1(t) = \phi_2(t)$.

2. Частицы находятся на одной прямой, но по разные стороны от центра. Их угловые координаты отличаются на $\pi$: $\phi_1(t) = \phi_2(t) + \pi$.

Теперь проверим, будет ли расстояние $\text{L}$ между частицами постоянным в этих случаях.

В первом случае, когда частицы лежат на одном радиус-векторе, расстояние между ними равно модулю разности радиусов их орбит: $L = |R_2 - R_1|$. Так как радиусы $R_1$ и $R_2$ являются постоянными величинами, расстояние $\text{L}$ между частицами также будет постоянным.

Во втором случае, когда частицы находятся на противоположных концах отрезка, проходящего через центр, расстояние между ними будет равно сумме радиусов: $L = R_1 + R_2$. Это расстояние также является постоянным.

Таким образом, условие постоянства расстояния выполняется, если частицы всегда находятся на одной прямой, проходящей через центр. Чтобы такое расположение сохранялось во времени, частицы должны поворачиваться на одинаковые углы за одинаковые промежутки времени. Это означает, что их мгновенные угловые скорости должны быть равны в любой момент времени:

$\omega_1(t) = \frac{d\phi_1}{dt} = \frac{d\phi_2}{dt} = \omega_2(t)$

Если их угловые скорости равны ($\omega_1 = \omega_2 = \omega$), то модули их линейных скоростей равны $v_1 = |\omega| R_1$ и $v_2 = |\omega| R_2$. Поскольку частицы движутся по разным окружностям ($R_1 \neq R_2$), их линейные скорости будут различны (при $\omega \neq 0$), что соответствует условию задачи.

Характер самого движения (функция $\omega(t)$) может быть любым: это может быть как равномерное движение по окружности ($\omega = \text{const}$), так и равноускоренное или любое другое неравномерное движение. Главное требование — это синхронность вращения, то есть равенство их угловых скоростей в каждый момент времени.

Ответ: Чтобы расстояние между частицами оставалось неизменным, они должны двигаться так, чтобы их угловые скорости в любой момент времени были равны друг другу ($\omega_1(t) = \omega_2(t)$).