Физика на кухне, страница 137, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 3. Основы статики. Параграф 32. Исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 137.

Условие.

ФИЗИКА НА КУХНЕ: ВОКРУГ КУРИНОГО ЯЙЦА

Для расширения кругозора учитель на уроке физики рассказал ребятам о важной роли правильного учёта законов равновесия тел при проектировании сложных инженерных сооружений. При этом ещё древние зодчие хорошо понимали, что прочностные свойства многих материалов на сжатие значительно выше, чем, например, на изгиб или растяжение. Поэтому при строительстве мостов, акведуков, зданий и т. п. часто использовались арочные конструкции, принцип действия которых основан на трансформации вертикальных нагрузок в боковые сжатия (в «пяту») арки.

Многие инженерные решения человеку подсказала сама природа: прочность скорлупы куриного яйца, строение стебля бамбука и т. п. Наглядным примером прочности куполообразных сооружений является обычное куриное яйцо. Сырое куриное яйцо нетрудно раздавить, если сжать его пальцами руки с боков, но гораздо труднее сделать это при сжатии яйца с торцов.

В этой связи учитель поручил заинтересованным ученикам класса продумать и изготовить экспериментальную установку для изучения прочностных свойств яичной скорлупы.

Постарайтесь и вы в рамках упрощённой физической модели разобраться в особенностях распределения механических напряжений в скорлупе куриного яйца.

Научная справка

Механическим напряжением $\sigma$ называют величину, равную отношению модуля силы упругости $F_{\text{упр}}$ к площади $\text{S}$ поперечного сечения тела:

$\sigma = \frac{F_{\text{упр}}}{S} = \frac{F}{S'}$

где $\text{F}$ — модуль внешней деформирующей силы, уравновешиваемой силой упругости.

В СИ за единицу механического напряжения принимается паскаль (Па): $1 \text{ Па} = 1 \text{ Н/м}^2$.

Наибольшее механическое напряжение $\sigma_{\text{max}}$, которое образец выдерживает без разрушения, называется пределом прочности. Пределы прочности твёрдых тел существенно зависят от того, являются ли эти тела хрупкими или нет. Например, материалы, изготовленные из стекла, фарфора, мрамора и т. п., являются хрупкими и разрушаются при небольших деформациях. Среди металлов повышенной хрупкостью обладает чугун. Другие металлы, в частности сталь, медь, свинец и др., не являются хрупкими. Как правило, предел прочности хрупких тел заметно меньше.

Помощник

• В качестве оборудования вам потребуются: набор грузов известной массы, зажим, позволяющий регулировать силу сжатия с помощью винта, сырые куриные яйца. Примечание: следует иметь в виду, что жидкое содержимое заполняет не весь объём яйца, в нём имеется воздушная полость, позволяющая дышать развивающемуся зародышу. В опытах должны использоваться яйца без трещин и сколов на поверхности скорлупы.

• Установка состоит из двух деревянных платформ, одна из которых является подвижной и может свободно скользить по двум вертикальным направляющим, соединённым с неподвижной платформой. В платформах имеются специальные профильные лунки, которые обеспечивают устойчивое вертикальное положение яйца, помещаемого между платформами. При этом распределение нагрузки на скорлупу осуществляется по линии контакта скорлупы с краями лунки, т. е. по окружности известного диаметра.

• Как показывает опыт, куриное яйцо является наиболее прочным с его острого конца. Это хорошо известно любителям «сражаться на варёных яйцах». Обычно выигрывает тот, кто ударяет острым концом яйца по тупому концу яйца, которое держит товарищ. Как уже отмечалось выше, яйцо является наименее прочным при его сдавливании с боков. Этот опытный факт подтверждают и простые количественные оценки распределения механических напряжений, возникающих в скорлупе яйца.

Внешняя сила $\vec{F}$, действующая на острый конец яйца и распределённая по линии контакта профильной лунки с поверхностью скорлупы, может быть представлена как векторная сумма равных по модулю сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_1'$, направленных по касательным к элементам поверхности яйца. Как видно из рисунка, модуль этих сил зависит от угла $\alpha_1$ между касательными:

$F = 2F_1 \cos \frac{\alpha_1}{2}$

$F_1' = F_1$

Если ту же самую силу $\vec{F}$ приложить к яйцу сбоку, то угол $\alpha_2$ между касательными будет больше угла $\alpha_1$:

$F = 2F_2 \cos \frac{\alpha_2}{2}$

$F_2' = F_2$

Из записанных выше равенств следует соотношение между силами $F_1$ и $F_2$:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\cos \frac{\alpha_1}{2}}{\cos \frac{\alpha_2}{2}}$; $\alpha_1 < \alpha_2$.

Таким образом, $F_2 > F_1$, что объясняет описанный выше опытный факт уменьшения прочностных свойств яйца при его сжатии с боков.

Дополнительным аргументом, подтверждающим этот вывод, является то обстоятельство, что при сдавливании яйца с боков острого конца его скорлупа испытывает в основном деформации сжатия, в то время как при сдавливании с боков начинают преобладать деформации растяжения.

Интересно также рассмотреть возможность увеличения прочностных свойств яичной скорлупы опытным путём. Идея опыта заключается в следующем: если яйцо подвергнуть сжатию с боков, то в скорлупе возникнут механические напряжения, что в итоге приведёт к увеличению прочности яйца при его сжатии с торцов. Для этих целей необходимо использовать боковые профильные лунки, а сжатие яйца осуществлять с помощью винтового зажима. Такое «напряжённое» яйцо устанавливается между подвижной и неподвижной платформами и подвергается сжатию с торцов посредством груза, помещаемого на подвижную платформу.

Этапы выполнения задания

• Поместите яйцо в вертикальном положении между платформами.

• Постепенно увеличивая нагрузку на подвижную платформу, с помощью фото- или замедленной видеосъёмки фиксируйте момент начала процесса разрушения яйца и характер распределения механических напряжений в скорлупе (направления и локализация трещин).

• Определите минимальный вес $\text{P}$ груза, при котором происходит разрушение яйца.

• С помощью линейки измерьте диаметр $\text{D}$ профильной лунки. С помощью микрометра измерьте толщину $\text{d}$ скорлупы.

• По формуле $S = \pi dD$ вычислите площадь поперечного сечения скорлупы.

• Вычислите предел прочности скорлупы по формуле $\sigma_{\text{max}} = \frac{P}{\pi dD}$.

• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	P, Н	D, см	d, мм	$\sigma_{\text{max}}$, МПа

• Проделайте аналогичные измерения для яйца, подвергнутого сжатию с боков.

• Объясните полученные результаты и сделайте выводы.

• Используя справочники физических величин, сравните значение предела прочности яичной скорлупы с аналогичными значениями для ряда других материалов (стекло, фарфор, чугун, сталь и т. п.).

Решение.

Задача представляет собой описание лабораторной работы по определению предела прочности яичной скорлупы и анализу результатов. Для решения необходимо смоделировать проведение эксперимента с использованием правдоподобных данных и на их основе выполнить все требуемые вычисления и выводы.

Сначала выполним этапы 1-7 для яйца, сжимаемого с торцов (вертикально).

Дано

Предположим, что в ходе эксперимента были получены следующие данные для разрушения яйца при сжатии с торцов:

Минимальная масса груза, разрушившего яйцо: $m_1 = 5$ кг

Диаметр профильной лунки: $D = 2$ см

Толщина скорлупы (измерена микрометром): $d = 0.4$ мм

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

Сила тяжести (вес) груза: $P_1 = m_1 g = 5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 49$ Н

Диаметр лунки: $D = 2 \text{ см} = 0.02$ м

Толщина скорлупы: $d = 0.4 \text{ мм} = 0.0004$ м

Найти:

Предел прочности скорлупы при сжатии с торцов $\sigma_{max1}$.

Решение

1. Вычислим площадь поперечного сечения скорлупы, на которое распределяется нагрузка. Эта площадь представляет собой кольцо, которое можно аппроксимировать как площадь прямоугольника с длиной, равной длине окружности лунки $L = \pi D$, и шириной, равной толщине скорлупы $\text{d}$.

$S_1 = \pi d D$

$S_1 = 3.14159 \cdot 0.0004 \text{ м} \cdot 0.02 \text{ м} \approx 0.00002513 \text{ м}^2$

2. Вычислим предел прочности по формуле $\sigma_{max} = \frac{P}{S}$.

$\sigma_{max1} = \frac{P_1}{S_1} = \frac{49 \text{ Н}}{0.00002513 \text{ м}^2} \approx 1949820 \text{ Па}$

3. Переведем результат в мегапаскали (МПа), зная что $1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$.

$\sigma_{max1} \approx 1.95 \text{ МПа}$

Проделайте аналогичные измерения для яйца, подвергнутого сжатию с боков.

Дано

Как известно из практики и теоретической справки, при сжатии с боков яйцо менее прочное. Также для сжатия с боков используются другие профильные лунки, которые будут иметь больший диаметр контакта из-за меньшей кривизны боковой поверхности. Возьмем следующие правдоподобные данные:

Минимальная масса груза, разрушившего яйцо: $m_2 = 1.2$ кг

Диаметр профильной лунки: $D_{бок} = 3$ см

Толщина скорлупы: $d = 0.4$ мм

Перевод в систему СИ:

Сила тяжести (вес) груза: $P_2 = m_2 g = 1.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 11.76$ Н

Диаметр лунки: $D_{бок} = 3 \text{ см} = 0.03$ м

Толщина скорлупы: $d = 0.4 \text{ мм} = 0.0004$ м

Найти:

Предел прочности скорлупы при сжатии с боков $\sigma_{max2}$.

Решение

1. Вычислим площадь поперечного сечения скорлупы:

$S_2 = \pi d D_{бок}$

$S_2 = 3.14159 \cdot 0.0004 \text{ м} \cdot 0.03 \text{ м} \approx 0.0000377 \text{ м}^2$

2. Вычислим предел прочности:

$\sigma_{max2} = \frac{P_2}{S_2} = \frac{11.76 \text{ Н}}{0.0000377 \text{ м}^2} \approx 311936 \text{ Па}$

3. Переведем результат в мегапаскали:

$\sigma_{max2} \approx 0.31 \text{ МПа}$

Заполним таблицу на основе наших расчетов:

№ опыта (способ сжатия)	P, Н	D, см	d, мм	σmax, МПа
1 (с торцов)	49.0	2.0	0.4	1.95
2 (с боков)	11.76	3.0	0.4	0.31

Ответ: Предел прочности яичной скорлупы при сжатии с боков, согласно модельным расчетам, составил около $0.31 \text{ МПа}$, что значительно меньше, чем при сжатии с торцов ($1.95 \text{ МПа}$).

Объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Полученные результаты показывают, что яичная скорлупа значительно прочнее при сжатии вдоль длинной оси (с торцов), чем при сжатии поперёк (с боков). Это объясняется геометрией яйца. Форма яйца на торцах близка к куполу или арке. Такая форма чрезвычайно эффективна для сопротивления сжимающим нагрузкам.

Как показано в теоретической справке, внешняя сжимающая сила $\text{F}$ раскладывается на касательные силы $F_1$ (для острого конца) и $F_2$ (для боковой части), действующие вдоль поверхности скорлупы. Связь между ними выражается формулами:

$F = 2F_1 \cos(\frac{\alpha_1}{2})$ и $F = 2F_2 \cos(\frac{\alpha_2}{2})$

где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ – углы между касательными к поверхности в точках приложения силы.

На торцах яйца кривизна поверхности больше, что соответствует меньшему углу $\alpha_1$ между касательными. На боковой поверхности кривизна меньше, следовательно, угол $\alpha_2$ больше ($\alpha_1 < \alpha_2$).

Поскольку функция косинуса убывает на интервале от $\text{0}$ до $90^\circ$, из неравенства $\alpha_1 < \alpha_2$ следует, что $\cos(\frac{\alpha_1}{2}) > \cos(\frac{\alpha_2}{2})$.

Из этого следует, что при одинаковой внешней силе $\text{F}$ касательная сила $F_1 = \frac{F}{2\cos(\alpha_1/2)}$ будет меньше, чем касательная сила $F_2 = \frac{F}{2\cos(\alpha_2/2)}$.

Механическое напряжение $\sigma$ в скорлупе прямо пропорционально этой касательной силе. Таким образом, при приложении одной и той же нагрузки с торцов в скорлупе возникают меньшие напряжения, чем при приложении нагрузки с боков. Поэтому для разрушения яйца с торцов требуется приложить значительно большую силу.

Вывод: Уникальная арочная геометрия торцов куриного яйца позволяет эффективно распределять внешнюю сжимающую нагрузку по поверхности, создавая относительно небольшие механические напряжения в материале скорлупы. Это делает яйцо очень прочным при сжатии вдоль его длинной оси, что является важным свойством для выживания вида (например, чтобы выдерживать вес насиживающей птицы).

Ответ: Яйцо прочнее при сжатии с торцов из-за его куполообразной формы, которая эффективно распределяет нагрузку по касательной к поверхности, минимизируя возникающие в скорлупе напряжения.

Используя справочники физических величин, сравните значение предела прочности яичной скорлупы с аналогичными значениями для ряда других материалов (стекло, фарфор, чугун, сталь и т. п.).

Сравним полученное нами значение предела прочности яичной скорлупы при сжатии с торцов ($\sigma_{max1} \approx 1.95 \text{ МПа}$) с пределами прочности на сжатие (или растяжение для хрупких материалов) для других веществ.

• Яичная скорлупа (наш расчет): $\approx 2$ МПа
• Стекло: предел прочности на сжатие $\approx 1000$ МПа, на растяжение $\approx 50-100$ МПа.
• Фарфор: предел прочности на сжатие $\approx 500$ МПа, на растяжение $\approx 50$ МПа.
• Чугун (серый): предел прочности на сжатие $\approx 600-900$ МПа, на растяжение $\approx 150-250$ МПа.
• Сталь (конструкционная): предел прочности на растяжение/сжатие $\approx 400-500$ МПа.
• Бетон: предел прочности на сжатие $\approx 20-40$ МПа, на растяжение $\approx 2-5$ МПа.

Сравнение и выводы:

Материал яичной скорлупы (в основном карбонат кальция) сам по себе обладает очень низким пределом прочности по сравнению с инженерными материалами, такими как сталь, чугун, стекло и даже бетон. Предел прочности скорлупы на два-три порядка (в 100-1000 раз) меньше, чем у большинства конструкционных материалов.

Однако, несмотря на слабость самого материала, объект в целом (яйцо) демонстрирует поразительную прочность благодаря своей геометрии. Это яркий пример того, как форма и структура могут компенсировать недостатки материала. Природа оптимизировала форму яйца, чтобы обеспечить максимальную прочность при минимальном расходе материала.

Ответ: Предел прочности материала яичной скорлупы ($\approx 2$ МПа) на порядки ниже, чем у таких материалов, как стекло ($\approx 100$ МПа), чугун ($\approx 150$ МПа) и сталь ($\approx 400$ МПа). Высокая прочность яйца как объекта достигается не за счет свойств материала, а за счет его оптимальной геометрической формы.