Номер 40, страница 16, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 40, страница 16.

Условие.

40. Изобразите в тетради траекторию материальной точки, при движении по которой пройденный путь больше, чем модуль перемещения:

а) в 3 раза;

б) в $\frac{\pi}{2}$ раз;

в) в $\sqrt{2}$ раз.

Решение.

Для решения задачи необходимо найти такую траекторию движения, для которой отношение длины траектории (пройденного пути $\text{S}$) к длине отрезка, соединяющего начальную и конечную точки (модулю перемещения $|\Delta\vec{r}|$), будет равно заданному числу.

а) в 3 раза

Дано:

Отношение пройденного пути $\text{S}$ к модулю перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равно 3.

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = 3 $

Найти:

Изобразить и описать траекторию движения.

Решение:

Рассмотрим самый простой случай криволинейного движения – движение по прямой с возвратом. Пусть материальная точка движется по прямой из начальной точки А в точку В, пройдя расстояние $\text{L}$. Затем точка разворачивается и движется в обратном направлении до точки С на расстояние $\text{d}$.

В этом случае пройденный путь $\text{S}$ будет равен сумме длин отрезков АВ и ВС:

$ S = L + d $

Перемещение – это вектор, соединяющий начальную и конечную точки, то есть вектор $\vec{AC}$. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен длине отрезка АС:

$ |\Delta\vec{r}| = L - d $

Согласно условию задачи, отношение пути к модулю перемещения равно 3:

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \frac{L+d}{L-d} = 3 $

Решим это уравнение относительно $\text{d}$:

$ L + d = 3(L - d) $

$ L + d = 3L - 3d $

$ 4d = 2L $

$ d = \frac{L}{2} $

Таким образом, точка должна пройти расстояние $\text{L}$ в одном направлении, а затем вернуться на половину этого расстояния ($L/2$) назад.

Ответ: Траекторией является движение по прямой на некоторое расстояние $\text{L}$ из точки А в точку В, а затем движение в обратном направлении на расстояние $L/2$ до точки С, которая является серединой отрезка АВ.

б) в $\frac{\pi}{2}$ раз

Дано:

Отношение пройденного пути $\text{S}$ к модулю перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равно $\frac{\pi}{2}$.

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \frac{\pi}{2} $

Найти:

Изобразить и описать траекторию движения.

Решение:

Рассмотрим движение материальной точки по дуге окружности. Пусть точка движется по полуокружности радиуса $\text{R}$ из начальной точки А в конечную точку В.

Пройденный путь $\text{S}$ равен длине полуокружности:

$ S = \pi R $

Перемещение – это вектор, соединяющий начальную и конечную точки, то есть вектор $\vec{AB}$. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен длине диаметра окружности, соединяющего точки А и В:

$ |\Delta\vec{r}| = 2R $

Найдем отношение пути к модулю перемещения:

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \frac{\pi R}{2R} = \frac{\pi}{2} $

Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: Траекторией является полуокружность. Точка начинает движение в одном конце диаметра и заканчивает в другом.

в) в $\sqrt{2}$ раз

Дано:

Отношение пройденного пути $\text{S}$ к модулю перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равно $\sqrt{2}$.

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \sqrt{2} $

Найти:

Изобразить и описать траекторию движения.

Решение:

Рассмотрим движение точки по траектории, состоящей из двух одинаковых прямолинейных отрезков, расположенных под прямым углом друг к другу. Пусть точка движется из А в В, а затем из В в С, причем $AB = BC = L$ и угол $\angle ABC = 90^\circ$.

Пройденный путь $\text{S}$ равен сумме длин отрезков АВ и ВС:

$ S = AB + BC = L + L = 2L $

Перемещение – это вектор $\vec{AC}$. Его модуль $|\Delta\vec{r}|$ равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника АВС. По теореме Пифагора:

$ |\Delta\vec{r}| = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2} $

Найдем отношение пути к модулю перемещения:

$ \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \frac{2L}{L\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $

Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: Траекторией является ломаная линия, состоящая из двух равных отрезков, расположенных под прямым углом друг к другу.