Номер 43, страница 17, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 43, страница 17.

Условие.

43. Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение:

а) за 2 мин;

б) за 4 мин;

в) за 8 мин;

г) за 12 мин?

Решение.

Дано:

Радиус круговой дорожки $R = 1 \text{ км}$

Период обращения (время одного круга) $T = 8 \text{ мин}$

Время движения:

а) $t_1 = 2 \text{ мин}$

б) $t_2 = 4 \text{ мин}$

в) $t_3 = 8 \text{ мин}$

г) $t_4 = 12 \text{ мин}$

В данном случае перевод в систему СИ не является обязательным, так как отношение времен $t/T$ будет безразмерной величиной, а ответ удобно выразить в километрах.

Найти:

Пройденный путь $\text{S}$ и модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ для каждого случая.

Решение:

Пройденный путь – это длина траектории, а перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это длина этого вектора.

Сначала найдем длину одного полного круга (длину окружности), которую велосипедист проезжает за время $T=8 \text{ мин}$:

$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 1 \text{ км} = 2\pi \text{ км}$

Так как движение равномерное, пройденный путь $\text{S}$ за время $\text{t}$ пропорционален этому времени:

$S = \frac{t}{T} \cdot L = \frac{t}{T} \cdot 2\pi R$

Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ – это длина хорды, соединяющей начальную и конечную точки на окружности.

а) за 2 мин

За 2 минуты велосипедист проедет часть круга, равную $\frac{t_1}{T} = \frac{2 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = \frac{1}{4}$.

Пройденный путь: $S_1 = \frac{1}{4} L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ км} \approx 1,57 \text{ км}$.

Перемещение соответствует хорде, стягивающей дугу в $90^\circ$. Начальное и конечное положения образуют с центром окружности прямоугольный равнобедренный треугольник, где катеты – это радиусы $\text{R}$, а гипотенуза – искомое перемещение. По теореме Пифагора:

$|\vec{\Delta r_1}| = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ км} \approx 1,41 \text{ км}$.

Ответ: пройденный путь равен $\frac{\pi}{2} \text{ км}$ (приблизительно 1,57 км), а модуль перемещения равен $\sqrt{2} \text{ км}$ (приблизительно 1,41 км).

б) за 4 мин

За 4 минуты велосипедист проедет часть круга, равную $\frac{t_2}{T} = \frac{4 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = \frac{1}{2}$.

Пройденный путь: $S_2 = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R = \pi R = \pi \cdot 1 = \pi \text{ км} \approx 3,14 \text{ км}$.

Велосипедист окажется в диаметрально противоположной точке. В этом случае перемещение равно диаметру окружности.

Модуль перемещения: $|\vec{\Delta r_2}| = 2R = 2 \cdot 1 = 2 \text{ км}$.

Ответ: пройденный путь равен $\pi \text{ км}$ (приблизительно 3,14 км), а модуль перемещения равен $2 \text{ км}$.

в) за 8 мин

За 8 минут велосипедист проедет часть круга, равную $\frac{t_3}{T} = \frac{8 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = 1$. То есть совершит один полный оборот.

Пройденный путь: $S_3 = 1 \cdot L = 2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \text{ км} \approx 6,28 \text{ км}$.

Так как велосипедист вернется в начальную точку, его начальное и конечное положения совпадают.

Модуль перемещения: $|\vec{\Delta r_3}| = 0 \text{ км}$.

Ответ: пройденный путь равен $2\pi \text{ км}$ (приблизительно 6,28 км), а модуль перемещения равен $0 \text{ км}$.

г) за 12 мин

За 12 минут велосипедист проедет часть круга, равную $\frac{t_4}{T} = \frac{12 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = \frac{3}{2} = 1,5$. То есть совершит полтора оборота.

Пройденный путь: $S_4 = 1,5 \cdot L = 1,5 \cdot 2\pi R = 3\pi R = 3\pi \cdot 1 = 3\pi \text{ км} \approx 9,42 \text{ км}$.

После 1,5 оборота (один полный оборот и еще половина) велосипедист окажется в точке, диаметрально противоположной начальной, как и в случае б).

Модуль перемещения: $|\vec{\Delta r_4}| = 2R = 2 \cdot 1 = 2 \text{ км}$.

Ответ: пройденный путь равен $3\pi \text{ км}$ (приблизительно 9,42 км), а модуль перемещения равен $2 \text{ км}$.