Номер 18, страница 94, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 18, страница 94.

Условие.

18. Масса Луны примерно в 81 раз меньше массы Земли. Космический корабль находится в некоторый момент на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны, и при этом он притягивает Землю и Луну с одинаковыми по модулю силами. К центру какого из этих двух небесных тел корабль ближе? Во сколько раз?

Решение.

Дано:

$M_З$ — масса Земли

$M_Л$ — масса Луны

$m_к$ — масса космического корабля

$F_З$ — сила притяжения корабля к Земле

$F_Л$ — сила притяжения корабля к Луне

$r_З$ — расстояние от корабля до центра Земли

$r_Л$ — расстояние от корабля до центра Луны

$\frac{M_З}{M_Л} = 81$

$F_З = F_Л$

Найти:

К центру какого небесного тела корабль ближе и во сколько раз?

Решение:

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой корабль притягивает Землю, равна по модулю силе, с которой Земля притягивает корабль. Аналогично для Луны. Таким образом, условие задачи означает, что силы гравитационного притяжения, действующие на корабль со стороны Земли и Луны, равны по модулю.

Сила всемирного тяготения описывается законом $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел, а $\text{r}$ — расстояние между их центрами.

Запишем выражения для сил, действующих на корабль:

1. Сила притяжения со стороны Земли: $F_З = G \frac{M_З m_к}{r_З^2}$

2. Сила притяжения со стороны Луны: $F_Л = G \frac{M_Л m_к}{r_Л^2}$

По условию задачи эти силы равны: $F_З = F_Л$.

Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M_З m_к}{r_З^2} = G \frac{M_Л m_к}{r_Л^2}$

Сократим общие множители $\text{G}$ и $m_к$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{r_З^2} = \frac{M_Л}{r_Л^2}$

Сгруппируем массы в одной части уравнения, а расстояния — в другой:

$\frac{M_З}{M_Л} = \frac{r_З^2}{r_Л^2}$

По условию известно, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны, то есть $\frac{M_З}{M_Л} = 81$. Подставим это значение в наше уравнение:

$81 = \frac{r_З^2}{r_Л^2}$

Чтобы найти отношение расстояний $\frac{r_З}{r_Л}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{81} = \sqrt{\frac{r_З^2}{r_Л^2}}$

$9 = \frac{r_З}{r_Л}$

Таким образом, мы получили, что $r_З = 9 r_Л$. Это означает, что расстояние от космического корабля до центра Земли в 9 раз больше, чем расстояние от него до центра Луны. Следовательно, корабль находится ближе к Луне.

Ответ: Корабль находится ближе к центру Луны в 9 раз.