Номер 11, страница 92, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 11, страница 92.

Условие.

11. Докажите, что ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли выражается формулой

$g(h) = G \frac{M_{\text{Зем}}}{ (R_{\text{Зем}} + h)^2}$

Решение.

Решение

Для доказательства данной формулы необходимо воспользоваться двумя фундаментальными законами физики: законом всемирного тяготения и вторым законом Ньютона.

1. Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения $F_{грав}$, действующая на тело массой $\text{m}$, которое находится на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, определяется выражением:

$F_{грав} = G \frac{M_{Зем} m}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $M_{Зем}$ – масса Земли, а $\text{r}$ – расстояние от центра Земли до тела. Это расстояние складывается из радиуса Земли $R_{Зем}$ и высоты $\text{h}$ над поверхностью: $r = R_{Зем} + h$.

Подставим это выражение для $\text{r}$ в формулу силы:

$F_{грав} = G \frac{M_{Зем} m}{(R_{Зем} + h)^2}$

2. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое ему ускорение. В условиях свободного падения под действием силы тяжести, ускорение тела равно ускорению свободного падения $g(h)$ на данной высоте $\text{h}$.

$F = m \cdot g(h)$

3. Поскольку сила гравитационного притяжения $F_{грав}$ и есть та сила, которая сообщает телу ускорение свободного падения, мы можем приравнять правые части обоих выражений для силы:

$m \cdot g(h) = G \frac{M_{Зем} m}{(R_{Зем} + h)^2}$

4. Сократим массу тела $\text{m}$ в обеих частях равенства, так как она не равна нулю:

$g(h) = G \frac{M_{Зем}}{(R_{Зем} + h)^2}$

Таким образом, мы получили искомое выражение для ускорения свободного падения на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $g(h) = G \frac{M_{Зем}}{(R_{Зем} + h)^2}$ доказана путем приравнивания выражения для силы тяжести из закона всемирного тяготения к выражению силы из второго закона Ньютона ($F = ma$).