Номер 12, страница 92, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 12, страница 92.

Условие.

12. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается в 4 раза по сравнению с ускорением свободного падения на поверхности Земли?

Решение.

Дано:

$\frac{g_0}{g} = 4$

$R_З \approx 6400$ км (радиус Земли)

В СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ зависит от массы планеты ($\text{M}$) и расстояния до ее центра ($\text{r}$) согласно закону всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние до центра Земли будет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения ($\text{g}$) на этой высоте будет равно:

$g = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, ускорение на искомой высоте в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли, то есть $\frac{g_0}{g} = 4$.

Составим отношение ускорений, используя полученные формулы:

$\frac{g_0}{g} = \frac{G \frac{M_З}{R_З^2}}{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}}$

После сокращения одинаковых множителей ($\text{G}$ и $M_З$) получаем:

$\frac{g_0}{g} = \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2$

Подставим в это уравнение заданное в условии отношение:

$\left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку расстояние не может быть отрицательным, берем только положительный корень):

$\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{4} = 2$

Теперь выразим искомую высоту $\text{h}$:

$R_З + h = 2 R_З$

$h = 2 R_З - R_З$

$h = R_З$

Таким образом, расстояние от поверхности Земли, на котором ускорение свободного падения уменьшается в 4 раза, равно радиусу Земли.

Используя среднее значение радиуса Земли, получаем:

$h \approx 6400$ км.

Ответ: Расстояние от поверхности Земли, на котором ускорение свободного падения уменьшается в 4 раза, равно радиусу Земли ($h = R_З$), что составляет приблизительно 6400 км.