Номер 7, страница 91, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 7, страница 91.

Условие.

7. Используя полученную при решении предыдущей задачи формулу, вычислите скорость движения Земли при её движении вокруг Солнца. Правильность расчёта проверьте, используя Интернет.

Получив выражение для скорости планеты, можно найти выражение и для периода её обращения.

Решение.

Вычисление скорости движения Земли вокруг Солнца

Для вычисления скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца будем считать орбиту круговой. В этом случае сила всемирного тяготения, действующая на Землю со стороны Солнца, сообщает ей центростремительное ускорение. Формула для orbital (первой космической) скорости, вероятно полученная в предыдущей задаче, выводится из равенства силы тяготения и центробежной силы:

$F_{тяг} = F_{ц}$

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Солнца, $\text{m}$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус орбиты Земли (среднее расстояние от Земли до Солнца), $\text{v}$ — орбитальная скорость Земли.

Сократив массу Земли $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, получим формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Дано:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Солнца, $M \approx 1.989 \times 10^{30}$ кг

Средний радиус орбиты Земли, $R \approx 1.496 \times 10^{11}$ м (1 астрономическая единица)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость движения Земли $\text{v}$.

Решение:

Подставим известные значения в формулу для орбитальной скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 1.989 \times 10^{30} \text{ кг}}{1.496 \times 10^{11} \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{1.327 \times 10^{20} \frac{м^3}{с^2}}{1.496 \times 10^{11} \text{ м}}} = \sqrt{8.87 \times 10^8 \frac{м^2}{с^2}}$

$v \approx 29785 \text{ м/с}$

Переведем скорость в километры в секунду:

$v \approx 29.785 \text{ км/с}$

Проверка правильности расчёта с помощью Интернета показывает, что средняя орбитальная скорость Земли составляет около 29.78 км/с. Наш расчёт верен.

Ответ: Скорость движения Земли вокруг Солнца составляет примерно $29.8 \text{ км/с}$.

Получение выражения для периода обращения планеты

Решение:

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое планета совершает один полный оборот вокруг звезды. При движении по круговой орбите скорость постоянна и может быть выражена как отношение длины окружности орбиты $L = 2 \pi R$ ко времени одного оборота $\text{T}$:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Отсюда можно выразить период обращения:

$T = \frac{2 \pi R}{v}$

Теперь подставим в это выражение полученную ранее формулу для скорости планеты $v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$:

$T = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{G M}{R}}}$

Упростим выражение:

$T = 2 \pi R \cdot \sqrt{\frac{R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{R^2 \cdot \frac{R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M}}$

Это выражение является математической формулировкой третьего закона Кеплера для круговых орбит.

Ответ: Выражение для периода обращения планеты: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M}}$.