Номер 14, страница 93, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 14, страница 93.

Условие.

14. Докажите, что масса Земли выражается через гравитационную постоянную, ускорение свободного падения и радиус Земли формулой $$M_{\text{Зем}} = \frac{gR_{\text{Зем}}^2}{G}$$

Решение.

Решение

Для доказательства данной формулы рассмотрим тело произвольной массы $\text{m}$, находящееся на поверхности Земли. Будем считать Землю идеальным шаром с радиусом $R_{Зем}$ и массой $M_{Зем}$.

С одной стороны, на это тело действует сила тяжести, которая определяется вторым законом Ньютона:

$F_{тяж} = mg$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

С другой стороны, на это же тело действует сила гравитационного притяжения со стороны Земли, которая описывается законом всемирного тяготения:

$F_{грав} = G \frac{M_{Зем} m}{R_{Зем}^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Так как сила тяжести у поверхности Земли — это и есть сила гравитационного притяжения, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$mg = G \frac{M_{Зем} m}{R_{Зем}^2}$

Масса тела $\text{m}$ присутствует в обеих частях равенства, поэтому её можно сократить:

$g = G \frac{M_{Зем}}{R_{Зем}^2}$

Из полученного выражения выразим массу Земли $M_{Зем}$. Для этого умножим обе части уравнения на $R_{Зем}^2$ и разделим на $\text{G}$:

$g R_{Зем}^2 = G M_{Зем}$

$M_{Зем} = \frac{g R_{Зем}^2}{G}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу.

Ответ: Доказательство основано на приравнивании выражений для силы тяжести ($F = mg$) и силы всемирного тяготения ($F = G \frac{M_{Зем} m}{R_{Зем}^2}$), действующих на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли. После сокращения массы $\text{m}$ и алгебраических преобразований получается искомая формула $M_{Зем} = \frac{gR_{Зем}^2}{G}$.