Номер 9, страница 91, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 9, страница 91.

Условие.

9. Вычислите период обращения Юпитера вокруг Солнца. Правильность расчёта проверьте, используя Интернет.

Решение.

Для вычисления периода обращения Юпитера вокруг Солнца можно использовать третий закон Кеплера, который в обобщенной форме (выведенной Ньютоном) связывает период обращения, массу центрального тела и размер орбиты.

Дано:

Большая полуось орбиты Юпитера $a_Ю = 5.204$ а.е. (астрономических единиц).

Масса Солнца $M_С \approx 1.989 \cdot 10^{30}$ кг.

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Перевод в систему СИ:

Для проведения расчетов в системе СИ необходимо перевести большую полуось орбиты из астрономических единиц в метры. Одна астрономическая единица (среднее расстояние от Земли до Солнца) равна $1 \text{ а.е.} \approx 1.496 \cdot 10^{11}$ м.

$a_Ю = 5.204 \text{ а.е.} \cdot 1.496 \cdot 10^{11} \frac{\text{м}}{\text{а.е.}} \approx 7.785 \cdot 10^{11}$ м.

Остальные данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Период обращения Юпитера $T_Ю$.

Решение:

Третий закон Кеплера для тела, вращающегося вокруг массивного центрального объекта (когда масса спутника значительно меньше массы центрального тела), имеет вид:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3$

где $\text{T}$ — период обращения, $\text{a}$ — большая полуось орбиты, $\text{M}$ — масса центрального тела (Солнца), $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Выразим из формулы период $\text{T}$:

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2a^3}{GM}}$

Подставим числовые значения в системе СИ для Юпитера:

$T_Ю = \sqrt{\frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot (7.785 \cdot 10^{11} \text{ м})^3}{6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 1.989 \cdot 10^{30} \text{ кг}}}$

Рассчитаем знаменатель:

$GM_С = (6.674 \cdot 10^{-11}) \cdot (1.989 \cdot 10^{30}) \approx 1.327 \cdot 10^{20}$ м³/с²

Рассчитаем числитель:

$4\pi^2a_Ю^3 \approx 4 \cdot 9.87 \cdot (7.785 \cdot 10^{11})^3 \approx 39.48 \cdot (4.719 \cdot 10^{35}) \approx 1.863 \cdot 10^{37}$ м³

Теперь вычислим сам период в секундах:

$T_Ю = \sqrt{\frac{1.863 \cdot 10^{37}}{1.327 \cdot 10^{20}}} \approx \sqrt{1.404 \cdot 10^{17}} \approx 3.747 \cdot 10^8$ с

Результат получился в секундах. Для наглядности переведем его в земные годы. В одном году примерно 365.25 суток, в сутках 24 часа, в часе 3600 секунд.

$1 \text{ год} \approx 365.25 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 3.15576 \cdot 10^7$ с

$T_Ю (\text{в годах}) = \frac{3.747 \cdot 10^8 \text{ с}}{3.15576 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 11.87$ лет

Согласно выполненному расчету, период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет примерно 11.87 земных лет.

В задании также требуется проверить правильность расчёта, используя Интернет. По данным из открытых источников (например, NASA), сидерический период обращения Юпитера составляет 11.86 земных лет или 4332.6 земных суток. Наш результат 11.87 лет отлично согласуется с официальными данными. Небольшое расхождение связано с округлением констант и исходных данных.

Ответ: Расчетный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет приблизительно 11.87 земных лет.