Номер 6, страница 90, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 6, страница 90.

Условие.

6. Обозначим $M_C$ массу Солнца, $\text{m}$ — массу планеты, $\text{R}$ — радиус её орбиты, $\text{v}$ — модуль скорости планеты.

а) Выразите модуль ускорения $\text{a}$ планеты через радиус её орбиты и её скорость.

б) Выразите модуль $\text{F}$ силы притяжения планеты Солнцем через массы Солнца и планеты и гравитационную постоянную.

в) Выразите скорость планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Ответ этой задачи показывает: чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты. Обратите внимание: скорость движения планеты не зависит от её массы.

Решение.

Дано:

$M_c$ — масса Солнца

$\text{m}$ — масса планеты

$\text{R}$ — радиус орбиты планеты

$\text{v}$ — модуль скорости планеты

$\text{G}$ — гравитационная постоянная

Найти:

а) $a(R, v)$ — ?

б) $F(M_c, m, G)$ — ?

в) $v(G, M_c, R)$ — ?

Решение:

a) При движении по круговой орбите тело движется с центростремительным ускорением. Модуль этого ускорения $\text{a}$ связан с модулем скорости $\text{v}$ и радиусом орбиты $\text{R}$ следующим соотношением:

$a = \frac{v^2}{R}$

Ответ: $a = \frac{v^2}{R}$

б) Сила гравитационного притяжения между двумя телами (в данном случае, Солнцем и планетой) описывается законом всемирного тяготения Ньютона. Модуль этой силы $\text{F}$ выражается через массы тел $M_c$ и $\text{m}$, расстояние между ними $\text{R}$ и гравитационную постоянную $\text{G}$:

$F = G \frac{M_c m}{R^2}$

Ответ: $F = G \frac{M_c m}{R^2}$

в) Гравитационная сила притяжения, действующая на планету со стороны Солнца, является той силой, которая сообщает планете центростремительное ускорение и удерживает её на орбите. Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Приравняем выражения для силы из пункта б) и ускорения из пункта а):

$G \frac{M_c m}{R^2} = m \cdot a$

$G \frac{M_c m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в обеих частях уравнения, чтобы выразить скорость $\text{v}$:

$\frac{G M_c}{R} = v^2$

Извлекая квадратный корень, получаем выражение для скорости планеты:

$v = \sqrt{\frac{G M_c}{R}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{G M_c}{R}}$