Номер 13, страница 93, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 13, страница 93.

Условие.

13. Оцените первую космическую скорость для Луны. Примите, что ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны в 6 раз меньше, чем вблизи поверхности Земли.

Второй космической скоростью называют скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно покинуло окрестности Земли. Она равна примерно 11,2 км/с.

Решение.

Дано:

Соотношение ускорений свободного падения на Луне ($g_Л$) и на Земле ($g_З$): $g_Л = \frac{g_З}{6}$

Для решения задачи используются справочные данные:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Средний радиус Луны: $R_Л \approx 1740 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:
$R_Л = 1740 \, \text{км} = 1.74 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:

Первую космическую скорость для Луны — $v_{1Л}$.

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, вращающимся по круговой орбите вблизи поверхности небесного тела. При движении по такой орбите сила всемирного тяготения, действующая на спутник, сообщает ему центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m a_{цс}$

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела (Луны), $\text{m}$ — масса спутника, $\text{R}$ — радиус орбиты (равен радиусу Луны $R_Л$), $v_1$ — первая космическая скорость.

Выразим из этого равенства квадрат скорости:

$v_1^2 = \frac{GM}{R}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности небесного тела определяется формулой:

$g = \frac{GM}{R^2}$

Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставим это в формулу для квадрата скорости:

$v_1^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$

Таким образом, формула для вычисления первой космической скорости имеет вид:

$v_1 = \sqrt{gR}$

Применим эту формулу для Луны:

$v_{1Л} = \sqrt{g_Л R_Л}$

Сначала вычислим ускорение свободного падения на Луне, используя данные из условия задачи и справочное значение для Земли:

$g_Л = \frac{g_З}{6} \approx \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{6} \approx 1.63 \, \text{м/с}^2$

Теперь подставим числовые значения $g_Л$ и $R_Л$ (в системе СИ) в формулу для первой космической скорости на Луне:

$v_{1Л} = \sqrt{1.63 \, \text{м/с}^2 \times 1.74 \times 10^6 \, \text{м}} \approx \sqrt{2.8362 \times 10^6} \, \text{м/с} \approx 1684 \, \text{м/с}$

Переведем полученное значение в километры в секунду:

$1684 \, \text{м/с} \approx 1.68 \, \text{км/с}$

Округляя, получаем, что первая космическая скорость для Луны составляет примерно $1.7 \, \text{км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость для Луны составляет примерно $1.7 \, \text{км/с}$.