Номер 8, страница 91, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 8, страница 91.

Условие.

8. Выразите период T обращения планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Решение.

Дано:

$\text{G}$ - гравитационная постоянная

$\text{M}$ - масса Солнца

$\text{r}$ - радиус орбиты планеты

$\text{m}$ - масса планеты

Найти:

$\text{T}$ - период обращения планеты

Решение:

Для решения задачи предположим, что планета движется по круговой орбите. В этом случае единственной силой, действующей на планету и удерживающей ее на орбите, является сила гравитационного притяжения со стороны Солнца. Эта сила сообщает планете центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона:

$F = m a_c$

где $\text{F}$ - сила, действующая на тело, $\text{m}$ - масса планеты, $a_c$ - ее центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения между Солнцем (масса $\text{M}$) и планетой (масса $\text{m}$) на расстоянии $\text{r}$ (радиус орбиты) определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $\text{r}$ с линейной скоростью $\text{v}$, равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Приравняем силу тяготения и произведение массы на центростремительное ускорение, так как именно сила тяготения и является той силой, которая вызывает это ускорение:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ и один радиус $\text{r}$ в знаменателях обеих частей уравнения:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можно выразить квадрат линейной скорости планеты. Теперь свяжем скорость $\text{v}$ с периодом обращения $\text{T}$. Период — это время одного полного оборота по орбите. Длина круговой орбиты равна $2 \pi r$. Тогда скорость движения по орбите можно выразить как:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим это выражение для скорости в нашу предыдущую формулу:

$G \frac{M}{r} = \left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}$

Теперь выразим $T^2$ из полученного равенства:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2 \cdot r}{G M} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

Чтобы найти период $\text{T}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 r^3}{G M}}$

Вынеся из-под корня $4 \pi^2$, получаем окончательную формулу:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$

Данное соотношение является уточнением третьего закона Кеплера для случая круговой орбиты.

Ответ: Период обращения планеты выражается формулой $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$, где $\text{T}$ - период обращения, $\text{r}$ - радиус орбиты, $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Солнца.