Номер 37, страница 96, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 37, страница 96.

Условие.

37. Для изучения поверхности Луны планируют запустить искусственный спутник Луны, движущийся по круговой орбите на высоте 200 км над поверхностью. Чему будут равны скорость и период обращения такого спутника?

Решение.

Дано:

Высота орбиты спутника над поверхностью Луны, $h = 200 \text{ км}$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Луны, $M_{\text{Л}} \approx 7,34 \cdot 10^{22} \text{ кг}$

Средний радиус Луны, $R_{\text{Л}} \approx 1737 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$h = 200 \text{ км} = 200 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_{\text{Л}} = 1737 \text{ км} = 1737 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,737 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника, $\text{v}$ - ?

Период обращения спутника, $\text{T}$ - ?

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, поэтому сила гравитационного притяжения со стороны Луны является центростремительной силой. По второму закону Ньютона:

$F_{\text{тяг}} = m a_{\text{ц}}$

где $\text{m}$ – масса спутника, $a_{\text{ц}} = v^2/r$ – его центростремительное ускорение, $F_{\text{тяг}} = G \frac{M_{\text{Л}} m}{r^2}$ – сила всемирного тяготения. Радиус орбиты $\text{r}$ складывается из радиуса Луны $R_{\text{Л}}$ и высоты орбиты $\text{h}$.

Рассчитаем радиус орбиты:

$r = R_{\text{Л}} + h = 1,737 \cdot 10^6 \text{ м} + 2 \cdot 10^5 \text{ м} = 1,937 \cdot 10^6 \text{ м}$

Скорость спутника

Приравняем выражения для силы тяготения и центростремительной силы:

$G \frac{M_{\text{Л}} m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, чтобы выразить орбитальную скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{G M_{\text{Л}}}{r}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,34 \cdot 10^{22}}{1,937 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{4,896 \cdot 10^{12}}{1,937 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{2,528 \cdot 10^6} \approx 1590 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Период обращения спутника

Период обращения $\text{T}$ – это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты $L = 2 \pi r$ к скорости спутника $\text{v}$.

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3,1416 \cdot 1,937 \cdot 10^6 \text{ м}}{1590 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{1,217 \cdot 10^7}{1590} \approx 7654 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в часы и минуты: $7654 \text{ с} \approx 127,6 \text{ мин} \approx 2$ часа $\text{8}$ минут.

Ответ: скорость движения спутника по орбите равна приблизительно $1590 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (или $1,59 \frac{\text{км}}{\text{с}}$), а период его обращения вокруг Луны — приблизительно $7654 \text{ с}$ (около 2 часов 8 минут).