Номер 34, страница 96, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 34, страница 96.

Условие.

34. Немецкий учёный Кеплер на основе наблюдений датского астронома Браге установил закономерность, которую назвали третьим законом Кеплера. В упрощённом виде третий закон Кеплера состоит в том, что для всех планет Солнечной системы отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты одно и то же: $\frac{T^2}{R^3} = \text{const}$. Докажите, что эта закономерность следует из закона всемирного тяготения. Справедлив ли этот закон для планет, обращающихся по круговым орбитам вокруг другой звезды?

Решение.

Доказательство следования третьего закона Кеплера из закона всемирного тяготения

Дано:

Планета массой $\text{m}$ движется по круговой орбите радиусом $\text{R}$ вокруг звезды массой $\text{M}$. Период обращения планеты равен $\text{T}$. Примем, что масса планеты пренебрежимо мала по сравнению с массой звезды ($m \ll M$), поэтому звезду можно считать неподвижным центром системы.

Найти:

Доказать, что отношение $\frac{T^2}{R^3}$ является постоянной величиной (константой) для всех планет, вращающихся вокруг данной звезды.

Решение:

Планета движется по круговой орбите, значит, на нее действует центростремительная сила, которая удерживает ее на этой орбите. Роль этой силы выполняет гравитационная сила притяжения между планетой и звездой.

Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения равна:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает планете центростремительное ускорение $a_c$:

$F_c = m a_c$

Центростремительное ускорение при движении по окружности можно выразить через период обращения $\text{T}$. Сначала найдем линейную скорость $\text{v}$ планеты, которая равна длине орбиты, деленной на время одного оборота:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Теперь выразим центростремительное ускорение через скорость:

$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(2\pi R / T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Приравняем выражения для гравитационной и центростремительной сил, так как это одна и та же сила:

$F_g = F_c$

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Теперь преобразуем это равенство, чтобы выразить отношение $\frac{T^2}{R^3}$:

$G M T^2 = 4\pi^2 R^3$

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$

В правой части полученного выражения все величины являются постоянными: $\text{4}$, $\pi$, гравитационная постоянная $\text{G}$ и масса центрального тела (звезды) $\text{M}$. Так как для всех планет одной звездной системы масса $\text{M}$ одинакова, то и все выражение справа является постоянной величиной. Это и есть математическая формулировка третьего закона Кеплера для круговых орбит.

Ответ: Третий закон Кеплера является следствием закона всемирного тяготения. Было доказано, что для планет, движущихся по круговым орбитам, отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты $\frac{T^2}{R^3}$ является постоянной величиной, равной $\frac{4\pi^2}{G M}$, где $\text{M}$ — масса центральной звезды.

Справедливость закона для планет, обращающихся по круговым орбитам вокруг другой звезды

Решение:

Как было показано в предыдущем доказательстве, соотношение, известное как третий закон Кеплера, имеет вид:

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{star}}$

где $M_{star}$ — масса звезды, вокруг которой обращаются планеты. Эта формула является универсальной для любой системы "звезда-планета" при движении по круговой орбите.

Если мы рассматриваем планетную систему другой звезды, то для всех планет, вращающихся вокруг этой звезды, ее масса $M_{star}$ будет одинаковой. Следовательно, для всех планет данной системы отношение $\frac{T^2}{R^3}$ также будет постоянной величиной.

Значение этой константы будет зависеть от массы новой звезды и, скорее всего, будет отличаться от значения для Солнечной системы (если только масса новой звезды случайно не окажется равной массе Солнца). Однако сама закономерность — постоянство отношения $\frac{T^2}{R^3}$ для всех планет одной и той же системы — будет выполняться.

Ответ: Да, этот закон справедлив для планет, обращающихся по круговым орбитам вокруг любой другой звезды.