Номер 27, страница 95, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 27, страница 95.

Условие.

27. На каком расстоянии от центра Луны на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны, находится космический корабль, если Земля и Луна притягивают его с равными по модулю силами?

Решение.

Дано:

$M_З$ - масса Земли, $M_З \approx 5.972 \cdot 10^{24}$ кг

$M_Л$ - масса Луны, $M_Л \approx 7.342 \cdot 10^{22}$ кг

$\text{R}$ - среднее расстояние между центрами Земли и Луны, $R \approx 3.844 \cdot 10^8$ м

$\text{G}$ - гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$

Найти:

$\text{x}$ - расстояние от центра Луны до космического корабля.

Решение:

Пусть $m_к$ - масса космического корабля. Космический корабль находится на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны. Обозначим искомое расстояние от центра Луны до корабля как $\text{x}$. Тогда расстояние от центра Земли до корабля будет равно $(R-x)$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $\text{F}$, действующая между двумя телами массами $m_1$ и $m_2$ на расстоянии $\text{r}$ друг от друга, вычисляется по формуле:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Сила притяжения, действующая на корабль со стороны Луны ($F_Л$), равна:

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m_к}{x^2}$

Сила притяжения, действующая на корабль со стороны Земли ($F_З$), равна:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m_к}{(R-x)^2}$

По условию задачи, эти силы равны по модулю: $F_Л = F_З$.

$G \frac{M_Л \cdot m_к}{x^2} = G \frac{M_З \cdot m_к}{(R-x)^2}$

Сократим одинаковые множители $\text{G}$ и $m_к$ в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю:

$\frac{M_Л}{x^2} = \frac{M_З}{(R-x)^2}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $\text{x}$. Перенесем члены с массами в одну сторону, а с расстояниями — в другую:

$\frac{(R-x)^2}{x^2} = \frac{M_З}{M_Л}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $\text{x}$ и $R-x$ являются расстояниями, они положительны.

$\frac{R-x}{x} = \sqrt{\frac{M_З}{M_Л}}$

Разделим левую часть на два слагаемых:

$\frac{R}{x} - 1 = \sqrt{\frac{M_З}{M_Л}}$

Выразим $\frac{R}{x}$:

$\frac{R}{x} = 1 + \sqrt{\frac{M_З}{M_Л}}$

Отсюда выразим искомое расстояние $\text{x}$:

$x = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{M_З}{M_Л}}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу.

$\sqrt{\frac{M_З}{M_Л}} = \sqrt{\frac{5.972 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7.342 \cdot 10^{22} \text{ кг}}} \approx \sqrt{81.34} \approx 9.019$

Подставим это значение и расстояние $\text{R}$ в формулу для $\text{x}$:

$x = \frac{3.844 \cdot 10^8 \text{ м}}{1 + 9.019} = \frac{3.844 \cdot 10^8 \text{ м}}{10.019} \approx 0.38367 \cdot 10^8$ м

Округлив результат до трех значащих цифр, получаем:

$x \approx 3.84 \cdot 10^7$ м, или 38 400 км.

Ответ: космический корабль находится на расстоянии приблизительно $3.84 \cdot 10^7$ м (38 400 км) от центра Луны.