Номер 28, страница 95, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 28, страница 95.

Условие.

28. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения тела к Земле уменьшается в 2 раза по сравнению с силой тяжести у поверхности Земли?

Решение.

Дано:

$ \frac{F_1}{F_2} = 2 $

$ R_З \approx 6400 \text{ км} $

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Сила притяжения тела к Земле описывается законом всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело на поверхности Земли, равна:

$ F_1 = G \frac{M \cdot m}{R_З^2} $

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса тела, $R_З$ – радиус Земли.

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние до центра Земли будет $R_З + h$. Сила притяжения на этой высоте будет равна:

$ F_2 = G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2} $

По условию задачи, сила притяжения на высоте $\text{h}$ в 2 раза меньше, чем на поверхности, то есть $F_1 = 2F_2$.

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$ G \frac{M \cdot m}{R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2} $

Сократим одинаковые множители $\text{G}$, $\text{M}$ и $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$ \frac{1}{R_З^2} = \frac{2}{(R_З + h)^2} $

Отсюда следует, что:

$ (R_З + h)^2 = 2 R_З^2 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$ R_З + h = \sqrt{2} \cdot R_З $

Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$ h = \sqrt{2} \cdot R_З - R_З = R_З(\sqrt{2} - 1) $

Подставим числовое значение радиуса Земли $R_З \approx 6400$ км и значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$ h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414 = 2649.6 \text{ км} $

Округляя, получаем $h \approx 2650$ км.

Ответ: расстояние от поверхности Земли, на котором сила притяжения уменьшается в 2 раза, составляет примерно 2650 км.