Номер 32, страница 96, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 32, страница 96.

Условие.

32. Вычислите первую космическую скорость для одной из планет Солнечной системы, кроме Земли (планету выберите сами). Данные о массе и размере этой планеты возьмите из Интернета. С его помощью вы сможете проверить также правильность своего расчёта.

Решение.

Для решения задачи выберем планету Марс. Найдем в открытых источниках необходимые для расчета данные: массу и средний радиус Марса, а также гравитационную постоянную.

Дано:

Масса Марса, $M \approx 6,4171 \times 10^{23}$ кг
Средний радиус Марса, $R_{ср} = 3389,5$ км
Гравитационная постоянная, $G \approx 6,674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:
$R = 3389,5 \text{ км} = 3389,5 \times 10^3 \text{ м} = 3,3895 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость для Марса, $v_1$.

Решение:

Первая космическая скорость – это минимальная скорость, которую необходимо придать телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для движения по круговой орбите вблизи поверхности планеты сила всемирного тяготения, действующая на спутник, сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение.

$F_{тяг} = F_{цс}$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения: $F_{тяг} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $\text{M}$ – масса планеты, $\text{m}$ – масса спутника, $\text{R}$ – радиус планеты.

Центростремительная сила, действующая на спутник, равна: $F_{цс} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}$

Приравняем правые части выражений: $G \frac{M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в знаменателе: $G \frac{M}{R} = v_1^2$

Отсюда выразим первую космическую скорость $v_1$: $v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчет: $v_1 = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6,4171 \times 10^{23} \text{ кг}}{3,3895 \times 10^6 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{42,827 \times 10^{12}}{3,3895 \times 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 \approx \sqrt{12,635 \times 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 3554,6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем результат в километры в секунду для удобства и округлим: $3554,6 \text{ м/с} \approx 3,55 \text{ км/с}$

Сравнивая полученный результат с данными из справочников (первая космическая скорость для Марса составляет около 3,55 км/с), можно сделать вывод, что расчет выполнен верно.

Ответ: $v_1 \approx 3,55 \text{ км/с}$.