Номер 30, страница 95, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 10. Силы тяготения - номер 30, страница 95.

Условие.

30. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны? Для расчёта примите, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.

Решение.

Дано:

$g_h = g_Л$

$M_З = 81 \cdot M_Л$

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

Средний радиус Луны $R_Л \approx 1740$ км

В системе СИ:

$R_З = 6,4 \cdot 10^6$ м

$R_Л = 1,74 \cdot 10^6$ м

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра тела массой $\text{M}$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли ($g_h$) равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

где $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли.

Ускорение свободного падения на поверхности Луны ($g_Л$) равно:

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

где $M_Л$ — масса Луны, $R_Л$ — радиус Луны.

Согласно условию задачи, эти ускорения равны: $g_h = g_Л$. Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M_З}{(R_З + h)^2} = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Сократим гравитационную постоянную $\text{G}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{(R_З + h)^2} = \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Из условия известно, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны: $M_З = 81 \cdot M_Л$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{81 \cdot M_Л}{(R_З + h)^2} = \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$ (так как она не равна нулю):

$\frac{81}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{R_Л^2}$

Выразим из этого уравнения квадрат искомого расстояния от центра Земли:

$(R_З + h)^2 = 81 \cdot R_Л^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (расстояния могут быть только положительными):

$R_З + h = \sqrt{81 \cdot R_Л^2} = 9 \cdot R_Л$

Теперь выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = 9 \cdot R_Л - R_З$

Подставим числовые значения радиусов Земли и Луны:

$h = 9 \cdot (1,74 \cdot 10^6 \text{ м}) - (6,4 \cdot 10^6 \text{ м}) = 15,66 \cdot 10^6 \text{ м} - 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 9,26 \cdot 10^6$ м.

Переведем результат в километры для наглядности:

$h = 9260$ км.

Ответ: 9260 км.