Номер 1, страница 106, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 1, страница 106.

Условие.

1. На рисунке 12.2 изображены силы, действующие на брусок массой $\text{m}$, находящийся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

а) Назовите действующие на брусок силы.

б) Запишите второй закон Ньютона для бруска в векторной форме.

Векторное уравнение можно превратить в систему «обычных» уравнений, если записать его в проекциях на оси координат. Для этого найдём сначала проекции действующих на тело сил и проекции ускорения тела.

в) Запишите выражения для проекций сил, действующих на брусок, и ускорения бруска на показанные на рисунке 12.2 оси координат.

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат в виде системы уравнений.

д) Найдите выражение для модуля ускорения бруска.

е) Почему ускорение бруска не зависит от его массы?

ж) При каком угле наклона плоскости модуль ускорения бруска в 2 раза меньше модуля ускорения свободного падения?

з) Найдите выражение для модуля действующей на брусок силы нормальной реакции. Оно нам понадобится далее, когда надо будет учитывать силу трения.

и) При каком угле наклона плоскости модуль действующей на брусок силы нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести?

Решение.

Дано:

Брусок массой $\text{m}$ на гладкой (без трения) наклонной плоскости.

Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha$.

Ускорение свободного падения: $\text{g}$.

Найти:

а) Силы, действующие на брусок.

б) Второй закон Ньютона в векторной форме.

в) Проекции сил и ускорения на оси координат.

г) Второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

д) Выражение для модуля ускорения бруска.

е) Объяснение независимости ускорения от массы.

ж) Угол $\alpha$, при котором ускорение в 2 раза меньше $\text{g}$.

з) Выражение для модуля силы нормальной реакции.

и) Угол $\alpha$, при котором сила нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести.

Решение

а) На брусок действуют две силы:
1. Сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости вверх.
Сила трения отсутствует, так как плоскость гладкая.

Ответ: Сила тяжести ($m\vec{g}$) и сила нормальной реакции ($\vec{N}$).

б) Второй закон Ньютона гласит, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. Для данного бруска уравнение будет иметь вид:
$m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}$.

Ответ: $m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}$.

в) Выберем систему координат, как показано на рисунке: ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.
Проекции ускорения: брусок движется только вдоль оси $Ox$, поэтому $a_x = a$, $a_y = 0$.
Проекции сил:
- Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна оси $Ox$ и сонаправлена с осью $Oy$. Её проекции: $N_x = 0$, $N_y = N$.
- Сила тяжести $m\vec{g}$ направлена вертикально вниз. Угол между вектором $m\vec{g}$ и отрицательным направлением оси $Oy$ равен $\alpha$. Тогда проекции силы тяжести: $(mg)_x = mg \sin\alpha$, $(mg)_y = -mg \cos\alpha$.

Ответ: Проекции на ось $Ox$: $a_x=a$, $N_x=0$, $(mg)_x=mg \sin\alpha$. Проекции на ось $Oy$: $a_y=0$, $N_y=N$, $(mg)_y= -mg \cos\alpha$.

г) Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат, используя выражения из пункта (в).
Проекция на ось $Ox$: $\sum F_x = ma_x \implies (mg)_x + N_x = ma_x \implies mg \sin\alpha + 0 = ma$.
Проекция на ось $Oy$: $\sum F_y = ma_y \implies (mg)_y + N_y = ma_y \implies -mg \cos\alpha + N = m \cdot 0$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} mg \sin\alpha = ma \\ N - mg \cos\alpha = 0 \end{cases}$

Ответ: Система уравнений: $\begin{cases} mg \sin\alpha = ma \\ N - mg \cos\alpha = 0 \end{cases}$.

д) Для нахождения модуля ускорения бруска воспользуемся первым уравнением системы из пункта (г):
$mg \sin\alpha = ma$
Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:
$a = g \sin\alpha$

Ответ: $a = g \sin\alpha$.

е) Ускорение бруска не зависит от его массы, потому что и сила, вызывающая ускорение (проекция силы тяжести на наклонную плоскость $mg \sin\alpha$), и инертность тела (его масса $\text{m}$) пропорциональны массе. При записи второго закона Ньютона ($ma = mg \sin\alpha$) масса $\text{m}$ сокращается. Это является следствием равенства гравитационной и инертной масс.

Ответ: Масса $\text{m}$ входит как множитель и в силу, вызывающую ускорение, и в произведение массы на ускорение, поэтому она сокращается в уравнении движения.

ж) Требуется найти угол $\alpha$, при котором модуль ускорения бруска в 2 раза меньше модуля ускорения свободного падения, то есть $a = g/2$.
Используем формулу для ускорения из пункта (д): $a = g \sin\alpha$.
Приравняем правые части: $g \sin\alpha = g/2$.
Сокращаем $\text{g}$: $\sin\alpha = 1/2$.
Угол, синус которого равен 1/2, это $30^\circ$.

Ответ: $\alpha = 30^\circ$.

з) Для нахождения модуля силы нормальной реакции $\text{N}$ воспользуемся вторым уравнением системы из пункта (г):
$N - mg \cos\alpha = 0$
Выразим $\text{N}$:
$N = mg \cos\alpha$

Ответ: $N = mg \cos\alpha$.

и) Требуется найти угол $\alpha$, при котором модуль силы нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести, то есть $N = mg/2$.
Используем формулу для силы нормальной реакции из пункта (з): $N = mg \cos\alpha$.
Приравняем правые части: $mg \cos\alpha = mg/2$.
Сокращаем $mg$: $\cos\alpha = 1/2$.
Угол, косинус которого равен 1/2, это $60^\circ$.

Ответ: $\alpha = 60^\circ$.