Номер 7, страница 110, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 7, страница 110.

Условие.

7. На доске длиной 40 см лежит брусок. Коэффициент трения между доской и бруском равен 0,4. С каким ускорением будет скользить брусок по доске, если один из её концов поднять на 20 см?

Решение.

Дано:

Длина доски $L = 40$ см

Коэффициент трения $\mu = 0,4$

Высота подъема конца доски $h = 20$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Переведем данные в систему СИ:

$L = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

$h = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Ускорение бруска $\text{a}$ - ?

Решение:

Когда один конец доски поднимают, она образует наклонную плоскость. Найдем синус угла наклона $\alpha$ этой плоскости к горизонту. По определению, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высота $\text{h}$) к гипотенузе (длина доски $\text{L}$).

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{0,2 \text{ м}}{0,4 \text{ м}} = 0,5$

Зная синус угла, найдем его косинус с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0,5)^2} = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

На брусок, скользящий по наклонной плоскости, действуют сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$) и сила трения скольжения ($F_{тр}$).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх.

Проекция на ось OX: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$

Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, следовательно, $N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$.

Подставим выражение для $\text{N}$ в формулу силы трения: $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$

Масса бруска $\text{m}$ сокращается, и мы получаем формулу для ускорения:

$a = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,5 - 0,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 10 \cdot (0,5 - 0,4 \cdot 0,866) = 10 \cdot (0,5 - 0,3464) = 10 \cdot 0,1536 \approx 1,54 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение бруска будет равно примерно $1,54 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.