Номер 13, страница 111, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 13, страница 111.

Условие.

13. Бусинку нанизали на гладкую спицу, наклонённую под углом $30^{\circ}$ к горизонту, и толкнули вверх вдоль спицы. Начальная скорость бусинки 2 м/с. Какой путь пройдёт бусинка до возвращения в начальное положение?

Решение.

Дано:

Угол наклона спицы, $\alpha = 30^\circ$

Начальная скорость бусинки, $v_0 = 2$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Пройденный путь, $S - ?$

Решение:

Бусинка движется по гладкой спице, значит, сила трения отсутствует. Движение бусинки является равноускоренным, и ускорение создается проекцией силы тяжести на ось, направленную вдоль спицы.

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вверх вдоль спицы. На бусинку действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно спице. Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$ будет иметь вид:

$ma_x = -mg \sin\alpha$

Отсюда находим ускорение бусинки:

$a_x = a = -g \sin\alpha$

Знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть бусинка замедляется.

Пройденный путь до возвращения в начальное положение состоит из двух одинаковых отрезков: пути вверх до полной остановки ($S_{вверх}$) и пути вниз обратно к начальной точке ($S_{вниз}$). Так как трения нет, движение симметрично, и $S_{вверх} = S_{вниз}$. Общий путь $S = S_{вверх} + S_{вниз} = 2S_{вверх}$.

Найдем путь, который бусинка пройдет вверх до остановки. В верхней точке траектории ее скорость станет равной нулю ($v = 0$). Воспользуемся формулой для равноускоренного движения, связывающей путь, скорости и ускорение:

$v^2 = v_0^2 + 2aS_{вверх}$

Подставим известные значения $v=0$ и $a = -g \sin\alpha$:

$0 = v_0^2 + 2(-g \sin\alpha)S_{вверх}$

$v_0^2 = 2g S_{вверх} \sin\alpha$

Отсюда выразим путь вверх:

$S_{вверх} = \frac{v_0^2}{2g \sin\alpha}$

Тогда полный путь, пройденный бусинкой, равен:

$S = 2S_{вверх} = 2 \cdot \frac{v_0^2}{2g \sin\alpha} = \frac{v_0^2}{g \sin\alpha}$

Теперь подставим числовые значения:

$\sin(30^\circ) = 0.5$

$S = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с²} \cdot 0.5} = \frac{4}{5} \text{ м} = 0.8 \text{ м}$

Ответ: пройденный бусинкой путь до возвращения в начальное положение равен 0.8 м.