Номер 11, страница 110, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 11, страница 110.

Условие.

11. Брусок начинает скользить по доске длиной 1 м, когда один конец доски приподнимают на 50 см по сравнению с другим. Какую скорость надо сообщить бруску, чтобы он смог проскользить вдоль всей этой доски, расположенной горизонтально?

Решение.

Дано:

Длина доски, $L = 1$ м

Высота подъема конца доски, $h = 50$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Начальную скорость бруска, $v_0$

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. В первом этапе, из условия начала скольжения бруска по наклонной доске, мы определим коэффициент трения скольжения $\mu$. Во втором этапе, зная коэффициент трения, мы найдем необходимую начальную скорость для движения бруска по горизонтальной доске на ту же длину.

1. Определение коэффициента трения.

Когда брусок находится на наклонной доске, на него действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$. Условие, что брусок "начинает скользить", означает, что скатывающая сила (проекция силы тяжести на наклонную плоскость) становится равной максимальной силе трения покоя, которую в данной задаче мы принимаем равной силе трения скольжения.

Пусть угол наклона доски к горизонту равен $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, одна из которых направлена вдоль наклонной плоскости, а другая — перпендикулярно ей.

Проекция на ось, перпендикулярную плоскости: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось, параллельную плоскости (в момент начала движения): $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$, откуда $mg \sin(\alpha) = F_{тр}$.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$.

Приравняв два выражения для силы трения, получаем: $mg \sin(\alpha) = \mu mg \cos(\alpha)$.

Сократив $mg$, находим коэффициент трения: $\mu = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$.

Угол наклона $\alpha$ найдем из геометрических соображений. Длина доски $\text{L}$ является гипотенузой, а высота $\text{h}$ — противолежащим катетом в прямоугольном треугольнике.

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{0.5 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.5$.

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем косинус угла:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0.5^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда тангенс угла и коэффициент трения равны:

$\mu = \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Движение по горизонтальной доске.

Теперь рассмотрим движение бруска по горизонтальной доске. Бруску сообщают начальную скорость $v_0$, и он движется до полной остановки под действием силы трения. Расстояние, которое он проходит, равно $\text{L}$.

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести: $N' = mg$.

Сила трения скольжения: $F_{тр} = \mu N' = \mu mg$.

Для нахождения начальной скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Работа силы трения равна изменению кинетической энергии бруска.

$A_{тр} = \Delta E_k = E_{k, кон} - E_{k, нач}$.

Работа силы трения на пути $\text{L}$ отрицательна: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot L = -\mu mgL$.

Кинетическая энергия в начале $E_{k, нач} = \frac{mv_0^2}{2}$, в конце $E_{k, кон} = 0$ (брусок остановился).

$-\mu mgL = 0 - \frac{mv_0^2}{2}$.

$\mu mgL = \frac{mv_0^2}{2}$.

Отсюда выражаем $v_0$: $v_0^2 = 2\mu gL \Rightarrow v_0 = \sqrt{2\mu gL}$.

Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{\frac{19.6}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{\frac{19.6}{1.732}} \approx \sqrt{11.316} \approx 3.36 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_0 \approx 3.36 \text{ м/с}$.