Номер 4, страница 108, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 12. Тело на наклонной плоскости - номер 4, страница 108.

Условие.

4. На рисунке 12.3 изображены силы, действующие на брусок массой $\text{m}$, покоящийся на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

a) Назовите действующие на брусок силы.

б) Почему сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости вверх?

в) Запишите второй закон Ньютона для покоящегося бруска в векторной форме.

г) Запишите выражения для проекций всех сил, действующих на брусок.

д) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат в виде системы уравнений.

е) Получите из этой системы уравнений выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции.

В полученное вами выражение для силы трения покоя не входит коэффициент трения. Но это не означает, что условие покоя тела на наклонной плоскости не зависит от значения коэффициента трения! Вспомним, что сила трения покоя не превышает максимальной силы трения покоя, которую в школьном курсе физики принимают равной силе трения скольжения. Поэтому должно выполняться неравенство

$F_{\text{тр.пок}} \le \mu N$.

ж) Подставьте в это неравенство полученные вами выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции: вы получите неравенство, которое связывает угол наклона плоскости $\alpha$ с коэффициентом трения $\mu$.

15. Итак, тело может находиться в покое на наклонной плоскости, если для угла наклона плоскости $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$ выполняется неравенство

$\text{tg}\alpha \le \mu$.

Заметим, что это неравенство можно использовать для измерения коэффициента трения на опыте.

Решение.

а) На брусок действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно наклонной плоскости вверх; и сила трения покоя ($\vec{F}_{тр.пок.}$), направленная вдоль наклонной плоскости вверх. Ответ: На брусок действуют сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения покоя.

б) Сила тяжести, действующая на брусок, имеет составляющую, направленную вдоль наклонной плоскости вниз ($mg \sin \alpha$). Эта составляющая стремится сдвинуть брусок вниз по наклонной плоскости. Сила трения покоя всегда направлена против возможного движения. Поэтому, чтобы удержать брусок в состоянии покоя, сила трения покоя направлена вверх вдоль наклонной плоскости, уравновешивая скатывающую силу. Ответ: Сила трения покоя направлена вверх, так как она противодействует тенденции бруска соскальзывать вниз под действием составляющей силы тяжести.

в) Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$). Поскольку брусок находится в покое, его скорость и ускорение равны нулю ($\vec{v}=0$, $\vec{a}=0$). Следовательно, векторная сумма сил, действующих на брусок, также равна нулю. Ответ: $m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.пок.} = 0$.

г) Используем систему координат, показанную на рисунке: ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно ей вверх. Проекции сил на эти оси:
Сила тяжести ($m\vec{g}$):
- на ось Ox: $mg_x = mg \sin \alpha$
- на ось Oy: $mg_y = -mg \cos \alpha$
Сила нормальной реакции ($\vec{N}$):
- на ось Ox: $N_x = 0$
- на ось Oy: $N_y = N$
Сила трения покоя ($\vec{F}_{тр.пок.}$):
- на ось Ox: $(F_{тр.пок.})_x = -F_{тр.пок.}$
- на ось Oy: $(F_{тр.пок.})_y = 0$

Ответ: Проекции сил на оси Ox и Oy соответственно: сила тяжести ($mg \sin \alpha$, $-mg \cos \alpha$); сила нормальной реакции ($\text{0}$, $\text{N}$); сила трения покоя ($-F_{тр.пок.}$, $\text{0}$).

д) Второй закон Ньютона в проекциях на оси координат для покоящегося тела ($\vec{a}=0$) гласит, что сумма проекций всех сил на каждую ось равна нулю.
Проекция на ось Ox: $\sum F_x = mg_x + N_x + (F_{тр.пок.})_x = mg \sin \alpha + 0 - F_{тр.пок.} = 0$.
Проекция на ось Oy: $\sum F_y = mg_y + N_y + (F_{тр.пок.})_y = -mg \cos \alpha + N + 0 = 0$.

Ответ: Система уравнений:
Ox: $mg \sin \alpha - F_{тр.пок.} = 0$
Oy: $N - mg \cos \alpha = 0$

е) Решим систему уравнений, полученную в предыдущем пункте.
Из уравнения для проекции на ось Ox находим силу трения покоя:
$mg \sin \alpha - F_{тр.пок.} = 0 \Rightarrow F_{тр.пок.} = mg \sin \alpha$.
Из уравнения для проекции на ось Oy находим силу нормальной реакции:
$N - mg \cos \alpha = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha$.

Ответ: $F_{тр.пок.} = mg \sin \alpha$ и $N = mg \cos \alpha$.

ж) Тело будет оставаться в покое до тех пор, пока действующая на него сила трения покоя не превышает максимального значения $F_{тр.пок.}^{max}$. Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе нормальной реакции: $F_{тр.пок.}^{max} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения покоя. Таким образом, условие покоя имеет вид: $F_{тр.пок.} \le \mu N$.
Подставим в это неравенство выражения для $F_{тр.пок.}$ и $\text{N}$, найденные в пункте (е):
$mg \sin \alpha \le \mu (mg \cos \alpha)$.
Сокращаем обе части неравенства на $mg$ (поскольку $m>0$ и $g>0$):
$\sin \alpha \le \mu \cos \alpha$.
При условии, что угол наклона $0 \le \alpha < 90^\circ$, $\cos \alpha > 0$, поэтому мы можем разделить обе части на $\cos \alpha$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \le \mu$.
Используя тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем окончательное условие. Ответ: $\tan \alpha \le \mu$.