Номер 18, страница 175, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 18, страница 175.

Условие.

18. На рисунке 21.5 изображён график зависимости кинетической энергии колеблющегося тела от времени. Нулевому значению потенциальной энергии поставлено в соответствие положение равновесия тела.

Рис. 21.5

а) Чему равен период изменения кинетической энергии колеблющегося тела?

б) Чему равен период изменения потенциальной энергии колеблющейся системы?

в) Чему равен период колебаний?

г) Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте на графике любую точку, которой соответствует максимальное значение потенциальной энергии колеблющейся системы.

д) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда колеблющееся тело проходит положение равновесия.

е) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда кинетическая энергия тела равна потенциальной энергии колеблющейся системы.

ж) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда кинетическая энергия тела в 3 раза меньше потенциальной энергии колеблющейся системы.

з) Чему равна полная механическая энергия колебаний?

Решение.

Дано:

График зависимости кинетической энергии от времени $E_k(t)$.

Максимальная кинетическая энергия $E_{k, max} = 10$ Дж.

Минимальная кинетическая энергия $E_{k, min} = 0$ Дж.

Найти:

а) Период изменения кинетической энергии $T_{E_k}$

б) Период изменения потенциальной энергии $T_{E_p}$

в) Период колебаний $\text{T}$

г) Точку на графике, соответствующую максимальной потенциальной энергии

д) Точку на графике, соответствующую прохождению положения равновесия

е) Точку на графике, где $E_k = E_p$

ж) Точку на графике, где $E_p = 3E_k$

з) Полную механическую энергию $\text{E}$

Решение:

а) Чему равен период изменения кинетической энергии колеблющегося тела?

Период — это наименьший промежуток времени, через который система возвращается в то же состояние. На графике видно, что кинетическая энергия достигает своего максимального значения (10 Дж) в моменты времени $t = 0$ с и $t = 4$ с. Следовательно, период изменения кинетической энергии $T_{E_k}$ равен разности этих моментов времени.

$T_{E_k} = 4 \text{ с} - 0 \text{ с} = 4 \text{ с}$.

Ответ: Период изменения кинетической энергии равен 4 с.

б) Чему равен период изменения потенциальной энергии колеблющейся системы?

В колебательной системе без потерь энергии полная механическая энергия $\text{E}$ остается постоянной и равна сумме кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий: $E = E_k(t) + E_p(t)$. Отсюда $E_p(t) = E - E_k(t)$. Поскольку полная энергия $\text{E}$ постоянна, потенциальная энергия $E_p$ изменяется с той же частотой и тем же периодом, что и кинетическая энергия $E_k$.

Ответ: Период изменения потенциальной энергии равен 4 с.

в) Чему равен период колебаний?

При гармонических колебаниях энергия (кинетическая и потенциальная) изменяется с удвоенной частотой по сравнению с частотой самих колебаний. Это происходит потому, что за один полный период колебания ($\text{T}$) тело дважды проходит положение равновесия (где $E_k$ максимальна) и дважды достигает крайних положений (где $E_k$ минимальна). Таким образом, период изменения энергии ($T_E$) в два раза меньше периода колебаний тела ($\text{T}$): $T_E = T/2$. Отсюда период колебаний тела:

$T = 2 \cdot T_{E_k} = 2 \cdot 4 \text{ с} = 8 \text{ с}$.

Ответ: Период колебаний равен 8 с.

г) Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте на графике любую точку, которой соответствует максимальное значение потенциальной энергии колеблющейся системы.

Максимальное значение потенциальной энергии ($E_{p, max}$) система имеет в моменты, когда ее кинетическая энергия минимальна ($E_{k, min}$), что следует из закона сохранения энергии $E = E_k + E_p = const$. Из графика видно, что $E_{k, min} = 0$. Это происходит в моменты времени $t=2$ с, $t=6$ с и т.д. Таким образом, на графике нужно отметить любую точку, где он касается оси абсцисс.

Ответ: Следует отметить любую точку на графике, где $E_k=0$, например, точку с координатами $(2 \text{ с}; 0 \text{ Дж})$ или $(6 \text{ с}; 0 \text{ Дж})$.

д) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда колеблющееся тело проходит положение равновесия.

При прохождении положения равновесия тело имеет максимальную скорость, а следовательно, и максимальную кинетическую энергию. Согласно условию, в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю. Из графика видно, что $E_{k, max} = 10$ Дж. Это происходит в моменты времени $t=0$ с, $t=4$ с и т.д. Таким образом, на графике нужно отметить любую точку, соответствующую максимуму.

Ответ: Следует отметить любую точку на графике, где $E_k$ максимальна, например, точку с координатами $(0 \text{ с}; 10 \text{ Дж})$ или $(4 \text{ с}; 10 \text{ Дж})$.

е) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда кинетическая энергия тела равна потенциальной энергии колеблющейся системы.

Если кинетическая энергия равна потенциальной ($E_k = E_p$), то из закона сохранения энергии $E = E_k + E_p$ следует, что $E = E_k + E_k = 2E_k$. Полная энергия системы $\text{E}$ равна максимальной кинетической энергии, т.е. $E = 10$ Дж. Тогда $E_k = E/2 = 10/2 = 5$ Дж. На графике нужно найти точки, в которых $E_k = 5$ Дж.

Ответ: Следует отметить любую точку на графике, ордината которой равна 5 Дж, например, точку с координатами $(1 \text{ с}; 5 \text{ Дж})$ или $(3 \text{ с}; 5 \text{ Дж})$.

ж) Отметьте на графике любую точку, соответствующую моменту времени, когда кинетическая энергия тела в 3 раза меньше потенциальной энергии колеблющейся системы.

Условие "кинетическая энергия в 3 раза меньше потенциальной" означает $E_p = 3E_k$. Подставим это в закон сохранения энергии: $E = E_k + E_p = E_k + 3E_k = 4E_k$. Зная, что полная энергия $E = 10$ Дж, находим искомую кинетическую энергию: $E_k = E/4 = 10/4 = 2.5$ Дж. На графике нужно найти точки, в которых $E_k = 2.5$ Дж.

Ответ: Следует отметить любую точку на графике, ордината которой равна 2.5 Дж, например, точку с абсциссой $t \approx 1.33$ с.

з) Чему равна полная механическая энергия колебаний?

Полная механическая энергия консервативной колебательной системы постоянна и равна максимальному значению кинетической энергии (когда потенциальная энергия равна нулю) или максимальному значению потенциальной энергии (когда кинетическая энергия равна нулю). Из графика видно, что максимальное значение кинетической энергии $E_{k, max} = 10$ Дж.

$E = E_{k, max} = 10 \text{ Дж}$.

Ответ: Полная механическая энергия колебаний равна 10 Дж.